保险精算学4-1

第四章基本生命保险——人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定换算函数第四章中英文单词对照一趸缴纯保费精算现时值死亡即刻赔付保险死亡年末给付保险定额受益保险NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance第四章中英文单词对照二定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险延期保险变额受益保险TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理人寿保险简介什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。人寿保险的分类受益金额是否恒定定额受益保险变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险保障标的的不同人寿保险（狭义）生存保险两全保险保障期是否有限定期寿险终身寿险人寿保险的性质保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。趸缴纯保费的厘定假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。纯保费厘定原理原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值基本符号——投保年龄的人。——人的极限年龄——保险金给付函数。——贴现函数。——保险给付金在保单生效时的现时值)(xxtbtvtztttvbz趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于()tEz主要险种的趸缴纯保费的厘定n年期生存保险n年期定期寿险n年期两全保险终身寿险延期m年的终身寿险延期m年的n年期的两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险第二节生存保险及其预期现值定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险基本函数关系)(x,0,1,0,0,ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定符号：趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：1:()xnxnAE或1:()nnxtnxnxnAEzvpep222112::()()()nntnxnxxxnnVarzvpvpAA11(1)nxnnxnxxnliEvpl也叫精算累积因子和精算折现因子。折现系数nxtxntxtEEE累积系数练习:1.计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯保费。利率i＝3％，保险金额为3万元。2.某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了30年纯生存保险，试以CL1计算，他在70岁可以领取的保险金额。趸缴纯保费递推公式公式一：111(1)xnxxnxilElE(1).nxnxxnilElxlnxExnxlE(1)xnxilE11nxE理解(x)的个人每人交纳元，缴纳的总额为。这笔基金按照利率i累积，在第二年初资金的总额为。此时每个生存的个体可享有元。依次类推，至第n年末每个生存个体享有1元。例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用表CL1的生命表求其子现在可以支取的金额。解：9912912921125000050000500001.06991353500000.591898599522529479.78Evpll(元)例：某个体在20岁投保的3年期生存保险，生存保险金为1000元。共有1000个20岁的个体投保，已知利率i=0.025.计算每人一次性缴纳的保费。并分析保险人在这个保单组的资金变动情况。假设群体未来死亡人数符合生命表中的分布。2021220.01,0.02,0.03.qqq解：可计算得33203200.873899334.Evp保险期间死亡概率年初生存人数死亡人数年初资金年末资金10.01100020.0230.031087389989574699019.8895746918140970.229.106918140941094第三节定期寿险1、死亡年末赔付死亡年末赔付的含义死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。基本符号——岁投保的人整值剩余寿命——保险金在死亡年末给付函数——贴现函数。——保险赔付金在签单时的现时值。——趸缴纯保费。kxK)(kbkvkzkkkzbv()kEzx定期寿险死亡年末赔付场合基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命，则11,0,1,,11,0,1,,10,,0,1,,10,kkkkkkkvvknknbknvknzbvkn趸缴纯保费的厘定符号：厘定：111:0111:0()nkkkxxkxnknkxxkxnkAEzvpqlAvd1:xnA现值随机变量的方差公式记等价方差为1222(1)20()()()()nkkkkkxxkkkVarzEzEzvpqEz1212(1):0nkkxxkxnkAvpq2112::()()kxnxnVarzAA例：在x岁签单的两年期死亡险，已知保险金额为1元，在死亡保单年度末支付。保险人给付额现值为Z，var(Z)=0.1771.给定计算0.50,0.xqi1.xq解：Z的取值为1和0，且所以方差为11(1)(()0)(()1)0.50.5.xxxxPZPKxPKxqpqq11()(0)(1)(0.50.5)(10.50.5)xxVarZPZPZqq解得10.54.xq趸缴纯保费递推公式公式二：111::1xxxxnnAvqvpA111:0xnjxxjnjlAvd第二式表示：在确定生存模型中，x岁的lx个个体每人缴纳元，则此笔资金及其利息累积，恰能使得在N年内每一死亡个体在死亡的保单年度末得到1元死亡保险金1:xnA1111::1(1)xxxxxnnilAdlA11xxxkkqpq2、死亡即刻赔付死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。假定：岁的人，保额1元n年定期寿险基本函数关系)(x,0,1,0,0,tttttttvvtvtnzbvtnbtntn趸缴纯保费的厘定符号：厘定：1:xnA1:000()()nxnttxnntttxxttxxtAEzzftdtvpdtepdt现值随机变量的方差方差公式记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为22220()()()()()nttttTtVarzEzEzeftdtEz212:0()ntTxnAeftdt21:1:2)()(nxnxtAAzVar例设个体(x)投保10年期寿险，死亡保险金为1元，在死亡后立即给付。利息力为0.02.求保险人给付额的现值Z的精算现值、方差。1,080,()800,Xtft其他.解：Z的精算现值：1010.02:10010.11329.80sxAedt1021120.042:10:1001()()0.11329800.0902txxVarZAAedt方差：例设计算0()1,01001000.1xSxxi130:101(2)()tAVarz（）解：00010101013030:10001021122230:1030:1000102()1(1)()()1001.111()1.10.0927070ln1.112()()1.10.092701.2110.0920.05570ln1.21xttttttSxtftSxxAvftdtdtVarzAAdt（）例证明111:::xnxmxmnmmxAAEA111:::mxxnxmxmnmAAEA3、不同给付时刻精算现值之间的关系结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则11::xnxniAA例：已知在每一年龄年UDD假设成立，给定1:2.xA计算10.10,0.05,0.08,xxiqq解：1212:20.050.950.08=0.10831.11.1xxxxAvqvpq所以11:2:20.10.10830.114.ln1.1xxiAA