期末复习习题课2高数

第14次习题课一、常系数线性ODE习题9.53(7)解方程2''2xyyex解：(1)解特征方程210得：1于是对应齐次方程''0yy的基础解系为12(),()xxxexe(2)设''2()xyyea一个特解为xyAxe代入(a)后，解得：xyxe(3)设2''()yyxb一个特解为2yBxCxD代入(b)后，解得：22yx(4)综上，原方程的通解是212()2xxyxCeCex习题9.62、解方程1''sinyyx解:(1)解特征方程210得：i于是对应齐次方程''0yy的基础解系为12()cos,()sinxxxx(2)设原方程的一个特解为：12()cos()sinyCxxCxx由1212'()cos'()sin0'()sin'()cos1/sinCxxCxxCxxCxxx解得：12'()1'()cotCxCxx从而1122()()ln|sin|CxCxCxCx(3)综上，原方程的通解是12()cos(ln|sin|)sinyCxxCxx问(请1班或3班回答)：你怎样解'''sin42sin2yyxx？总结：二阶常系数ODE求解步骤：Step1如果没有y，降阶！Step2通过特征方程解齐次方程的基础解系：12(),()xx1212,()(),()axbxababxexe1212(),()axaxaxexxe1212,()cos(),()sin()axaxabiabixebxxebxStep3求原方程的特解(3.1)如果右端项是()[cos()sin()]axnPxecbxdbx形式的和（()nPx是n次多项式），拆分，分别用待定系数法：如基础解系中未出现cos(),sin()axaxebxebx（b=0时仅为axe），则设()[cos()sin()]axnyQxecbxdbx。如基础解系出现11cos(),sin(),cos(),sin(),,cos(),sin()axaxaxaxkaxkaxebxebxxebxxebxxebxxebx而未出现cos(),sin()kaxkaxxebxxebx（b=0时，出现1,,,axaxkaxexexe而未出现kaxxe），则设[()cos()()sin()]kaxnnyxecQxbxdRxbx(3.2)对一般的右端项，用常数变易法：设特解形式为12()cos()sinyCxxCxx则11221122'()()'()()0'()'()'()'()()CxxCxxCxxCxxfxStep4合成通解。Step5如果降了阶，积分还原。二、变系数线性ODE（Euler方程和幂级数法）习题9.652''4'60xyxyy(方法1：Euler方程一般解法)解：设先考察x0的情况，设txe，即lntx，则1'dydydtdyydxdtdxxdt''???y(自己试推)代入原方程得：22560dydyydtdt解得23231212(0)ttyCeCeCxCxx当x=0时，y=0。当x0时，令~0xx，则原方程可化为2~~2~~2460dydyxxydxdx形式和原方程一致，于是~~23231212(0)yCxCxCxCxx综合起来，原方程通解为2312yCxCx(方法2：幂级数法)解：设0kkkyax，则11'kkkykax，22''(1)kkkykkax，将它们代入原方程，得：210(1)460kkkkkkkkkkkaxkaxax于是011040(1)460(2)kkkaaakkakaak即0100(2)(3)0(2)kaakkak由此可见23,aa没有限制而其余系数均为0，因此原方程通解为2312yaxax三、数项级数与广义积分收敛性判别级数广义积分预处理：无找出所有瑕点，逐一分析瑕点及，(如果出现的话)1、直接求部分和直接求部分积分2、通项不收敛于0，则…f(x)在处收敛于非0的数，则…（注：f在处哪怕无界，仍有可能收敛，为什么？）3、通项恒正(负)：比较判别法(估阶或放缩)、达朗贝尔判别法、柯西判别法、柯西积分判别法（最后考虑，条件？）比较判别法(估阶或放缩)、柯西积分判别法、分段变成级数(f非负时，积分与级数同时收敛或发散，柯西积分判别法)4、绝对收敛吗？（用3）绝对收敛吗？（用3）5、阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求和项，一个收敛，一个有界）（特例：莱布尼茨判别法）阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求积项，一个收敛，一个有界）*6、柯西收敛准则柯西收敛准则注：广义积分分段变成级数的规则：11()()nnanaanfxdxfxdxfa化为除外无瑕点；且单增101()()00nnaananfxdxfxdxfa化为除外无瑕点；且单减一般级数收敛推不出积分收敛，级数发散可推出积分发散。但当f非负或非正时，积分与级数同时收敛或发散。习题10.22(2)21!3kkk是否收敛？解：(方法1)2!()3kkk，于是级数发散。(方法2：达朗贝尔判别法)习题10.22(9)21113kkkkk是否收敛？解：记2113kkkkuk，这是正项级数。(方法1：比较判别法)由于1kkek故21133kkkkkeuk而13kke收敛，故原级数收敛。(方法2：柯西判别法)由于11133kkkkeukk故原级数收敛。(方法3：达朗贝尔判别法)由于222(1)1(1)21122123111111113(1)33kkkkkkukkukkkeeekkk故原级数收敛。习题10.31(10)21sin(1)kk是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？观察：不难发现，n充分大时，该级数一定正负交错。解：(1)原级数可改写成1(1)kkku其中2sin(1)kukk注意到2211(0,0.5)1kkkk单调递减趋于0，于是当k充分大时，ku单调递减趋于0。从而原级数收敛。(2)由于2211sin11kuOOkkkkkk而11kk发散，于是原级数条件收敛。习题10.31(11)1(21)!!(1)(2)!!kkkk是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)记(21)!!(2)!!kkuk由12(21)1(21)(22)kkukkukk可知ku单调递减。由(22)(21)135(21)12345246(2)23456(21)212422124622kkkkukkkkkk可知lim0kku。(2)由于35(21)35211124(2)242222kkkukkkk而112kk发散，故原级数条件收敛。习题10.341cos()110,02kpkkpkk是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)由于11kk单调递增且11kek，下面只要证明1cos()pkkk收敛即可。由于1pk单调递减趋于0，而11cos(),sin(0.5)nkknN于是1cos()pkkk收敛，从而原级数收敛。(2)当p1时，cos()11kppkekkk故原级数绝对收敛。当01p且(0,)(,2)时，2cos()1|cos()|1cos()111111cos(2)11122kkkpppkkppkkkkkkkkkkkkkk由于(0,2)(2,4)，由刚才的结论知1cos(2)112kpkkkk收敛。又由11112kppOkkk可知：11112kpkkk发散。故11cos(2)112kpkkkk发散，从而原级数条件收敛。当01p且时，cos()111111kkpppkOkkkkk从而原级数条件收敛。综上，当p1时原级数绝对收敛；当01p时原级数条件收敛。习题11.14(2)3321cos(32)11xdxxx是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：原积分无暇点。由于3233323223cos(32)111111xOxxxxx原级数绝对收敛。习题11.13(6)0sinxdxx是否收敛？如收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：(1)原积分无暇点。由于1x单调递减且+1lim0xx，而0sin2xdx（对吗？）于是原积分收敛。(2)(方法1：比较判别法)当x1时，2sinsin1cos(2)22xxxxxxx类似于(1)，易证0cos(2)2xdxx收敛，而012dxx发散，故01cos(2)22xdxxx发散，从而原积分条件收敛。(方法2：化成级数)考察(1)0sin(*)kkkxdxx由于(1)(1)sin12sinkkkkxdxxdxxkk级数(*)发散，故原积分发散。四、函数项级数与含参广义积分一致收敛性判别函数项级数1()();[,]kkSxuxxab含参广义积分(无暇点)()(,);[,]cgxfxydyxab1、余项一致收敛于0的充要条件:[,]limsup()()0nnxabSxSxSup的上界nu:()();[,]nnSxSxuxab由lim0nnu可得级数收敛。Sup的下界nv:()()nnnnvSxSx由lim0nnv可得级数发散。余项一致收敛于0的充要条件:[,]limsup(,)0AAxabfxydySup的上界()ux:(,)();[,]AfxydyuAxab由lim()0AuA可得级数收敛。Sup的下界()vx:()[(),]AvxfxAydy由lim()0AvA可得级数发散。2、通项不一致收敛于0，则…无3、M-判别法(消去参数x)M-判别法(消去参数x)4、阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求和项，一个一致收敛，一个一致有界）阿贝尔和狄利克雷判别法（单调项与求积项，一个一致收敛，一个一致有界）5、()kux连续而()Sx不连续，则不一致收敛。f二元连续而()gx不连续，则不一致收敛。*6、柯西收敛准则：,[,]limsup()()0mnmnxabSxSx柯西收敛准则：,[,]limsup(,)0BAABxabfxydy注：1、瑕点积分情况类似。2、余项和柯西收敛准则提供充要条件；M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法只能判断一致收敛；函数项级数通项只能判断不一致收敛。级数221(21)(1)[1(1)]nnxnxnx在0x1上是否一致收敛？解：由于2222(21)11(1)[1(1)]11(1)nxnxnxnxnx于是211()11(1)nSxxnx1(