李建军-半导体器件模拟及数值分析第六章有限元法模拟

《微电子器件及工艺CAD》1国际微电子中心第六章有限元法哈尔滨工业大学(威海)微电子中心王新胜《微电子器件及工艺CAD》2国际微电子中心§6-1基本概念《微电子器件及工艺CAD》3国际微电子中心有限元法(FiniteElementMethod)，又译为有限元素法，是离散数值分析方法之一。是现在公认的一个有效的用途广泛的数值分析工具，它能应用于几乎所有的连续介质问题和场问题。70年代，有限元法在半导体器件模拟领域中得到了发展，并且自那以后，研究它在器件模拟中的应用，超过了有限插分法。有限元法不象有限差法那样把求解区域看作是网格点的排列，而是把求解区域看作由许多小的互相连接的子区域(称为元素)所构成。对某一问题，其有限元法模型给出基本方程的分片近似。有限元法的基本思想是：用一组离散元素集合体来代替求解区域，解析地模拟或逼近求解区域。因为这些元素可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示极其复杂的形状。基本概念《微电子器件及工艺CAD》4国际微电子中心现在把求解区域分成很多元素，并用每个元素内假设的近似函数来表示未知的场变量，那么，通过有限元素离散化过程便把问题简化为有限个未知数的问题。近似函数（有时称为插值函数）则由称之为节或节点的指定点上的场变量值来确定。节点通常选在元素的边界上，相邻的元素由节点连接在一起；除边界节点外，元素也可能有一些内部节点。基本概念那么有限元法的实质是什么呢？在任何维数的连续介质问题中，场变量（无论它是压力、温度、位移、应力或者某些其它量）是物体或求解区域内每个点的函数，因此这是一个具有无限个未知数的问题。《微电子器件及工艺CAD》5国际微电子中心场变量的节点值和元素的插值函数完全确定了元素内部场变量的特性。一个问题用有限元素表示后，场变量的节点值变成了新的未知数，一旦求出这些未知数，则插值函数便确定了整个元素集合体的场变量。基本概念显然，解的性质和近似程度不但取决于所采用的元素的大小和数目，而且还取决于所选择的插值函数。插值函数的选择不是任意的，通常选取的函数，要使场变量或其导数在通过相邻元素的边界时是连续的；同时插值函数必须是针对每个元素来定义的。有限元法的一个重要特点是把各个单独的元素集合在一起表示整个问题之前，能够为单独元素的解建立公式，这使得有限元法不同于其他的近似数值方法。《微电子器件及工艺CAD》6国际微电子中心有限元法的另一个优点是建立各单独元素特性公式的途径的多样性。一般来讲，得到元素特性的方法有四种：直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法。各种方法的特点概括如下：基本概念直接法：来源于结构分析的直接刚度法，应用于比较简单的问题，易于掌握。变分法：依靠变分计算，涉及到泛函的极值问题，变分法既适用于形状简单的元素又适用于形状的复杂的元素。加权余数法：这种推导元素特性的方法，完全建立在数学知识上，从问题的基本方程出发，在推导元素特性时不依赖于泛函或者变分原理。《微电子器件及工艺CAD》7国际微电子中心能量平衡法：取决于系统的热平衡或机械能的平衡。象加权余数法一样不需要应用变分法原理。因为极大地扩大了有限元素法可能应用的范围。基本概念不论用哪种方法求解元素特性，采用有限元法求解连续介质问题，总是按照一定步骤进行的，基本上可分成以下五个步骤：1.连续介质离散化把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同形式的元素可供采用，并且在同一个求解区域中可以应用不同形式的元素。《微电子器件及工艺CAD》8国际微电子中心2.选择插值函数指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示每个元素上场变量的变化。通常是选择多项式作为场变量的插值函数，因为多项式易于积分和微分。场变量及其导数的大小在节点上可能是未知的。基本概念3.求出元素特性有限元素模型一经建立（亦即，只要选择好元素和它们的插值函数），就可准备确定表示各个元素特性的矩阵方程，可以应用上面提到的直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法四种方法中的任一种。所采用的方法完全取决于问题的性质。《微电子器件及工艺CAD》9国际微电子中心基本概念系统矩阵方程组包括所有的节点，其形式和一个单独元素的方程组相同。在准备求解系统方程组以前，还要考虑到问题的边界条件，并对系统方程组加以修正。4.集合元素特性以求得系统方程组要求出由元素网格构成的模型所表示的整个系统的特性，必须将表示元素状态的矩阵方程组加以合并，形成表示整个求解区域或系统的矩阵方程组。5.求解系统方程组用有限元方法得到的系统方程组可能是线性的或是非线性的，选用适当的求解方法，求解这组联立方程，即可求得场变量在未知节点上的值。由上所述，建立有限元方程的方法有多种，此处将着重介绍其中应用最广泛的加权余数法。《微电子器件及工艺CAD》10国际微电子中心基本概念《微电子器件及工艺CAD》11国际微电子中心§6-2连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》12国际微电子中心连续介质离散化及插值函数6.2.1连续介质离散化如上所述，有限元法的基本概念是把求解区域分为有限个数目的子区域，这些子区域称之为元素。这些元素只在求解区域内的节点处和元素的边界上互相连接。元素的节点是元素的一部分，这样求解区域就被离散了，并且表示为许多元素的一个组合体。有限元素的边界常常是直线或平面。所以，如果求解区域有曲线或曲面边界的话，就可被一系列直线段或平面近似地表示出来。有限元素网格的数学解释就是空间的再分割。《微电子器件及工艺CAD》13国际微电子中心6.2.2元素和插值函数概述除了用直接法建立有限元方程外，用其他三种方法建立元素特性方程都需要选择每个元素上的插值函数。插值函数不是任意选取的，它应满足如下要求：(1).在元素的交界面（边界）处，场变量及其任一阶偏导数(直至比在有限元积分方程中出现的最高阶偏导数少一阶为止)都必须连续。在有限元素法中，求解区域的元素网格一旦确定，则在每个元素上的未知场变量的特性就由连续函数近似地表达。这些连续函数用场变量的节点值以及其直到某阶导数的节点值表示。定义在每个有限元素上的函数称为插值函数。整个求解区域上插值函数的集合提供场变量的一个分片近似。连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》14国际微电子中心(2).在极限情况下当元素的尺寸缩小为零时，的全部均匀状态及其偏导数(直至在有限元积分方程中出现的最高阶的偏导数)都能用来表示。)e(这些要求由菲利帕(Felippa)、克劳夫给出，并为奥利维拉(Oliverira)所证明。前一个要求称为协调性要求，第二个要求称为完备性要求。插值函数满足第一个要求的元素称为协调元素或保续元素；满足第二个要求的元素称为完备元素。采用以下的定义和记号表达场变量在元素交界面上连续性的程度。如果场变量在元素交界面上是连续的就说有连续；此外，若一阶导数也是连续的，就说有连续；若二阶导数也是连续的，就说有连续等等。0c1c2c6.2.2元素和插值函数概述连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》15国际微电子中心由此可见，当对所要解决的问题选用合适的元素类型时，必须包括元素的形状、节点的数目和类型、节点变量的类型和插值函数的类型，这些特性中只要缺少一项，对元素的描述就是不完整的。虽然可以设想许多类型的函数都可以作为插值函数，但是只有多项式得到了广泛的应用。原因是多项式的数学运算较为容易，可以毫无困难地进行积分和微分。以下将本着上述原则，讨论在半导体器件模拟中常用的元素类型和插值函数。0c0c6.2.2元素和插值函数概述连续介质离散化及插值函数构造具有连续性的元素和插值函数并不特别困难，但需要具有高阶连续性时，困难将迅速增加。对于要求连续性的问题，可以构造出无限个合适的元素，但通常要从这多种元素中选用类型最简单的元素，以避免过大的计算工作量。《微电子器件及工艺CAD》16国际微电子中心6.2.3一维元素及其插值函数最简单的元素是沿x轴的直线线段，叫做线元素。用线元素的节点值和节点坐标可以唯一地表示场变量在元素上的线性变化。元素12外节点外节点元素12内节点3123456图6-1一维线元素连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》17国际微电子中心元素12外节点外节点x1x2)x()e(x1x2x1x2N1(x)N2(x)(a)(b)(c)图6-2场变量在一维元素上的线性表示(a)一维直线元素,(b)在元素(e)上的线性变化,(c)的线性插值函数)x()e()x()e(6.2.3一维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数1112《微电子器件及工艺CAD》18国际微电子中心21211122)e(xxxxxxxx)x(N1(x)和N2(x)称为插值函数。(6.2.1)6.2.3一维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数x1x2)x()e(12(6.2.3)(6.2.2)2211)e()e(2121)e(NNNN,N)x(12121221xxxx)x(N,xxxx)x(N《微电子器件及工艺CAD》19国际微电子中心6.2.4二维元素及其插值函数图6-3二为元素(a)三节点三角形(b)矩形(c)六节点三角形(d)十节点三角形(e)梯形(a)(b)(c)(d)(e)连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》20国际微电子中心在半导体器件模拟中常采用的二维元素是三节点三角形元素。根据区域离散化的形式，可以允许在每个元素上按线性变化，如图6-4。与元素(e)相联系的的三个节点值的平面由下述方程描述。图6-4分片的线性求解曲面)y,x(ikjxy通过的三节点值的平面用此方程可在每个节点上计算的节点值。),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxbbb(6.2.4)),(),(),()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)(kekeeekjejeeejieieeeiyxyxyxyxyxyxbbbbbbbbb(6.2.5)6.2.4二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》21国际微电子中心从而求得用元素节点的坐标和的节点值来表示的常数。)e(3)e(2)e(1,,bbbDDD2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyxbbb(6.2.6)kkjjiiyxyxyx1112D[顶点为i,j,k的三角形的面积]26.2.4二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数《微电子器件及工艺CAD》22国际微电子中心把方程(6.2.6)代入方程(6.2.4)，6.2.4二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数DDD2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyxbbb),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxbbbijkjikjkjikkijikjijikjjkikjikikjikkkkjjjjiiii)e(xxc,yyb,xyyxaxxc,yyb,xyyxaxxc,yyb,xyyxa2ycxba2ycxba2ycxba)y,x(DDD(6.2.7)(6.2.8)整理各项，有aiajakbibjbkcickcj《微电子器件及工艺CAD》23国际微电子中心Nl(e)就是三节点三角形元素的线性插值函数。kjilycxbaNNNNNyxxxcyybxyyxaxxcyybxyyxaxxcyybxyyxaycxbaycxbaycxbayxllleleekjiekeje