高考圆锥曲线专题研究

蚇蚈袇芇蚃蚇聿薃蕿蚆高考圆锥曲线专题研究1、吃透圆锥曲线的两个定义：第一定义中要重视限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且﹥；当=时，轨迹是线段FF；当＜时,不存在任何图形。双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且＜|FF|；若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线；若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线（左焦点对应左准线，右焦点对应右准线），且“点点距为分子、点线距为分母”，商为离心率。要熟练进行点点距与点线距之间的相互转化。范例1：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是()A．B．C．D．（答：C）；②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）③如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2、理清圆锥曲线的标准方程与参数方程关系和功能:（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数）。（2）双曲线：焦点在轴上：=1（参数方程，其中为参数）。（3）抛物线：焦点在x轴正半轴：（参数方程，其中t为参数）。范例2：①若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）②已知,AB为抛物线22ypx上异于顶点O的两个动点，且,OAOBOMAB于点M，求动点M的轨迹。点评：圆锥曲线参数方程的主要功能：①处理最值问题；②求动点的轨迹问题。3、掌握圆锥曲线相关的几何性质：椭圆的几何性质主要体现在：四点（焦点、顶点）四线（准线、对称轴）两形（焦点三角形、,,abc三边关系三角形）。重点研究：①离心率；②焦半径；③焦点弦；④弦长公式。双曲线的几何性质主要体现在：四点（焦点、顶点）六线（准线、对称轴、渐近线）两形（焦点三角形、,,abc三边关系三角形）。重点研究：①离心率；②焦半径；③焦点弦；④弦长公式。抛物线的几何性质主要体现在：一动（动点）三定（定点：焦点，定直线：准线，定值：离心率1e）。重点研究：焦点弦的相关性质。范例4：①以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）；②椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：）。③设双曲线（a0,b0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）；④已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；5、理解直线与圆锥曲线的位置关系及处理办法：（1）设直线方程为0AxByC，圆锥曲线方程为,0fxy，则联立方程组并整理得：20axbxc.①若0a，对双曲线，方程0AxByC为平行于渐近线的任一直线；对抛物线，方程0AxByC为平行于对称轴的任一直线。②若0a，且0，则方程0AxByC为圆锥曲线,0fxy的一条切线。（2）若直线与圆锥曲线相交，则一般的解题思路为：直线与曲线联立方程组，转化为一元二次方程：20axbxc，目的是韦达定理得：12bxxa，12cxxa。然后再结合其它已知条件可得解。范例5：①若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）；②求椭圆上的点到直线的最短距离（）；③（2011年崇左市第五次月考理21）已知抛物线2ymx的焦点到准线的距离为1，且抛物线开口向右。求的m值；P是抛物线2ymx上的动点，点,BC在轴y上，圆2211xy内切于PBC中，求PBC面积的最小值。6、圆锥曲线中的焦点三角形问题：解题策略：①第一定义；②正弦、余弦定理；③三角形的面积公式。设为椭圆或双曲线上的一点，为两焦点，焦点三角形的面积为，则椭圆＝121sin2PFPF；双曲线20121cotsin22SbcyPFPF。范例6：①短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）；②双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________（答：）；③已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）；7、圆锥曲线中的弦长问题：若直线与圆锥曲线相交于两点A（）、B（），则＝＝；若弦AB所在直线方程设为，则＝。弦长求法的一般步骤：①确定直线的斜率；②确定直线方程；③直线与曲线联立方程组并转化为一元二次方程，利用韦达定理；④代入弦长公式。范例7：①如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：）；②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；§◎§特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！8、圆锥曲线中常用方法与重要结论：（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦；（6）抛物线的焦点弦公式：pxxAB21。范例8：①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；②已知斜率为1的直线L过椭圆1422yx的右焦点F，交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为；9、熟悉动点的轨迹问题的求法：（1）求动点轨迹方程的一般步骤：①建系设元、②建立数学模型、③模型符号化、④化简整理、⑤确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程，即直接利用条件建立之间的关系；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。③定义法：动点的轨迹满足某种已知曲线，直接由曲线定义写出轨迹方程；④代入转移法（设而不求）：动点与已知动点存在关系，且在某已知曲线上，则用的代数式表示，再将代入已知曲线即得所求轨迹方程；即把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系。⑤参数法：动点坐标可以引进参数方程。范例9：①如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．答：或[直接法]；②如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为[待定系数法]；③由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为答：；[定义法：圆的定义，动点P到定点O的距离]；④点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：）[定义法]；⑤一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）[定义法]；⑥AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，是MN的中点，则动点的轨迹为[参数法]；⑦过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）[设而不求法]。10、与圆锥曲线有关的常见向量结论：（1）在中，给出,等于已知是中边的中线;（2）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（3）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角。（4）给出,等于已知是的平分线。（5）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（6）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（7）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（8）在中，给出等于已知通过的内心；11、圆锥曲线中常见类型题解题展示：类型一（存在性问题）已知点C（1，0），点A、B是⊙O：229xy上任意两个不同的点，且满足0ACBC，设P为弦AB的中点，（1）求点P的轨迹T的方程；（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线1x的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，PBAyxOC说明理由．解：（1）法一：连结CP，由0ACBC，知AC⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2AB，由垂径定理知222||||||OPAPOA即22||||9OPCP………………3分设点P（x，y），有2222()[(1)]9xyxy化简，得到224xxy………………6分法二：设A11(,)xy，B22(,)xy，P(,)xy，根据题意，知222211229,9xyxy，12122,2xxxyyy，∴2222221122112242,42xxxxxyyyyy故22222211121222121244()(22)()182()xyxyxxyyxyxxyy①………3分又0ACBC，有1122(1,)(1,)0xyxy∴1212(1)(1)0xxyy，故121212()121xxyyxxx代入①式，得到2244182(21)xyx化简，得到224xxy………………6分（2）根据抛物线的定义，到直线1x的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线22ypx上，其中12p，∴2p，故抛物线方程为24yx………8分由方程组22244yxxxy得2340xx，解得121,4xx……10分由于0x，故取1x，此时2y,故满足条件的点存在的，其坐标为(1,2)和(1,2)………………12分类型二（定性问题）：已知点(4,0)C和直线:1lx，作,PQl垂足为Q，且(2)(2)0.PCPQPCPQ（Ⅰ）求点P的轨迹方程;（Ⅱ）过点C的直线m与点P轨迹交于两点1122(,),(,)MxyNxy，120xx，点(1,0)B，若BMN的面积为365，求直线m的方程.解：(Ⅰ)由已知(2)(2)0,PCPQPCPQ知2240PCPQ.所以2PCPQ……………………………………………2分设(,)Pxy，代入上式得22(4)21xyx平方整理得．221.412xy…………………………………4分（Ⅱ）由题意可知设直线m的斜率不为零，且(4,0)C恰为双曲线的右焦点，设直线m的方程为4xty，由22221(31)243604124xytytyxty…………………5分若2310t，则直线m与双曲线只有一个交点，这与120xx矛盾，故2310t.由韦达定理可得12212224313631tyytyyt……………………………6分212121212222222(4)(4)4()16362434141600,3131313xxtytytyytyytttttttt………8分222212222(24)436311318118136522133131ABCttttSBCyyttt2221911,,4543ttt或211.42tt………………10分故直线l的方程为280280xyxy或.……………12分类型三（定值问题）：设)0(1),(),,(22222211b