江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷4

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，则A∩B=▲．答案：(2,3]解析：A∩B=(2,3]2．函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期是▲．答案：π解析：y=3sin2x+cos2x=2sin(2x+60º)T=2π/2=π3．已知(a+i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=▲．答案：1解析：(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai=2ia=14．已知向量a与b的夹角为60º，且|a|=1，|b|=2，那么2()ab的值为▲．答案：7解析：2()ab=a2+b2+2ab=a2+b2+2|a||b|cos60º=12+22+2x1x2=75．底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为▲m2．答案：33解析：如图所示，正三棱锥-SABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正BCD的垂心，过C作CHAB于H，连接SH。则SOHC，且1333HOCH，在RtSHO中，22233SHSOHO。于是，12323SABSABSH，2334ABCSAB。所以=+333BCDSABSSS全面积。6．若双曲线221yxk的焦点到渐近线的距离为22，则实数k的值是▲．答案：8解析：法一：双曲线的渐近线方程为ykx；焦点坐标是(1,0)k。由焦点到渐近线的距离为22，不妨1221kkkk。解得8k。法二：可以将问题变为“若椭圆221yxk的离心率为13，则实数k=”，这时需要增加分类讨论的意思法三：结论法:在双曲线中，双曲线的焦点到渐近线的距离为b【在本题中，则b2=k=（22)2=8】7．若实数x，y满足10,0,0,xyxyx≥≥≤则z=x+2y的最大值是▲．答案：2解析：满足题中约束条件的可行域如图所示。目标函数2zxy取得最大值，即使得函数122zyx在y轴上的截距最大。结合可行域范围知，当其过点(0,1)P时，max0212Z。8．对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：①若(2)(2)ff，则f(x)为偶函数；②若(2)(2)ff，则f(x)不是偶函数；③若(2)(2)ff，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为▲．答案：②解析：命题③学生很容易判为真命题．反例：函数)(0)(Rxxf是奇函数，且满足(2)(2)ff．请注意以下问题：既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一？答案是否定的，如函数}1,1{(0)(xxf，}1,0,1{(0)(xxf，)(0)(Rxxf等．9．图中是一个算法流程图，则输出的n=▲．答案：1110．已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为▲．答案：3解析：931log2log22，2731log2log239393279279log2log2log2log23log2log2log2log2xxqxx本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系，并由此选定log32，得出log272=13log32，log92=12log32，最后通过假设将x用log32表示．11．已知5×5数字方阵：11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa中，11ijjiaji(是的整数倍)，(不是的整数倍)．则543422jijiaa=▲．答案：-1解析：假如题中出现551iia，应注意a15中5为1的倍数．题中方阵是一个迷惑，应排除这一干扰因素．本题的实质就是先定义aij，后求和．应注意两个求和符号∑中的上下标是不一致的，解题应把求和给展开．12．已知函数f(x)=2cosxx，x∈ππ[]22，，则满足f(x0)＞f(3)的x0的取值范围为▲．答案：[,)23∪(,]32解析：法1注意到函数]2,2[,cos)(2xxxxf是偶函数故只需考虑]2,0[区间上的情形．由]2,0[,0sin2)(xxxxf知函数在]2,0[单调递增，所以)3()(0fxf在]2,0[上的解集为]2,3(，结合函数是偶函数得原问题中0x取值范围是]2,3()3,2[．法202200cos219)3()(xxfxf，作出函数xyxycos,21922在]2,2[上的图象并注意到3x两函数有交点可得0x取值范围是]2,3()3,2[．13．甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7∶50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9∶00，10∶00，11∶00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11∶00时，小袁距乙地还有▲公里．答案：60解析：设从出发到上午11时行了s公里，则25060190ss，解得190s，此时小袁距乙地还有60公里．14．定义在[1,)上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=▲．答案：1或2解析：由已知可得：当21x时，)31(1)2(1)(xcxfcxf；当42x时，31)(xxf；当84x时，)31()2()(xcxcfxf，由题意点),6((),1,3(),1,23(cc共线，据312311cc得1c或2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230,23580.16第二组235,240①0.24第三组240,24515②第四组245,250100.20第五组[250,255]50.10合计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率.解：(1)①②位置的数据分别为12、0.3；………………………………………………4分(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；…………………………………8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．…………………………………………………………………………………12分所以93()155PA，故2人中至少有一名是第四组的概率为35．……………14分16．(本题满分14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．(1)若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求11AEEC的值．解：(1)因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．…………………3分又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，…………………5分又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．……………………………7分(2)设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF．因为A1B//平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1B//EF．…………………11分所以11AEEC＝1BFFC．又因为1BFFC＝1112BDBC，所以11AEEC＝12．………………………………………14分17．(本题满分14分)在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．(1)求证：B≤3；(2)若4B，且A为钝角，求A．解：(1)由余弦定理，得222cos24acbacBacac22．……………………………………3分因22acac2≥，1cos2B≥．………………………………………………………6分由0＜B＜π，得3B≤，命题得证．……………………………………………7分(2)由正弦定理，得222sin+sin=2sinACB．…………………………………………10分因4B，故22sinB=1，于是22sin=cosAC．……………………………………12分因为A为钝角，所以3sin=cos=cos()=sin()44ACAA．所以()4AA(=4AA，不合，舍)．解得5=8A．…………………14分（2）其它方法：法1同标准答案得到22sin=cosAC，用降幂公式得到22cos122cos1CA，或0)43(2cos2cosAA，展开再处理，下略．法2由余弦定理得accab2222，结合2222bca得22bac，4sinsinsin22CA，22)43sin(sinAA，展开后用降幂公式再合，下略．法3由余弦定理得accab2222，结合2222bca得222caac，CACA22sinsinsinsin2，)43(sinsin)43sin(sin222AAAA，下略18．(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的离心率为22，其焦点在圆x2+y2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cossinOMOAOB．(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求OA2+OB2．解：(1)依题意，得c=1．于是，a=2，b=1．……………………………………2分所以所求椭圆的方程为2212xy．………………………………………………4分(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221112xy①，222212xy②．又设M(x，y)，因cossinOMOAOB，故1212cossin,cossin.xxxyyy…………7分因M在椭圆上，故221212(cossin)(cossin)12xxyy．整理得22222212121212()cos()sin2()cossin1222xxxxyyyy．将①②代入上式，并注意cossin0，得121202xxyy．所以，121212OAOByykkxx为定值．………………………………………………10分(ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222xxxxyyyyyyyy，故22121yy．又22221212()()222xxyy，故22122xx．所以，OA2+OB2=22221122xyxy=3．…………………………………………16分19．(本题满分16分)已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n≥3)，记22221212nnnbaaaaaa(n≥3)．(1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；