数学基础__矢量分析.

1第一章数学基础（矢量分析）主要内容标积、矢积、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理引言•矢量代数、矢量微积分：电磁场理论研究必不可少•矢量——为复杂现象提供紧凑的数学描述，并且便于直观想像和运算变换2•例电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。实际上，所有实数都是标量。你能列举多少标量、矢量？1-1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。标量——一个仅用大小就能够完整描述的物理量矢量——一个有大小和方向的物理量力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。3矢量A在空间可用一有向线段表示几何表示ABAyxzAxBxAyByAzBzA(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)A=B41-2矢量的代数运算●矢量加法DABAB也可用平行四边形法则得到矢量加法、减法的平行四边形法则矢量加法按平行四边形法则进行●矢量减法CABBA的始端（尾tail）和的末端（尖tip）重合B两矢量相加AB两矢量相减ABB5两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)CAB(Ax＋Bx,Ay＋By,Bz＋Az)AA1AA01矢量与标量的乘法运算6标积(点积)的基本性质服从交换律和分配律A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C直角坐标系A(Ax,Ay,Az)B(Bx,By,Bz)xxyyzzABAB+ABAB=222xyzAA+AAA=矢量A的大小222xyzA=AA+AA=矢量A的模两个矢量的标积是一个标量◆矢量的标积（点积，内积，）矢量的乘积包括标积和矢积1.3矢量的标积和矢积7aAAe◆模为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）aAeA任一矢量A可写成AAAA矢量A的单位矢量任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积ex、ey、ezx轴、y轴、z轴方向上的单位矢量xxyyzzAAAA=eeeyxzaxyzAAAeeeeAAA矢量A的方向余弦coscoscosaxyzeeee8•等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积•记为标积（点积dotproduct)的几何意义任意两个矢量A与B的点积是一个标量标积的图示cosABBABcosAB标量积(ScalarProduct)两非零矢量的点积为零，则两矢量正交两矢量平行时点积最大9直角坐标系则两矢量的矢积的代数定义可用行列式表示为A=Axex+Ayey+AzezB=Bxex+Byey+BzezxyzxyzxyzxxyyzzxxyyzzxyzzyyzxxzzxyyxAAABBBAAABBBABABABABABABeeeABeeeeeeeee◆矢量的矢积(叉积，外积，)10矢积(叉积crossproduct)的几何意义（右手螺旋）两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行或两个相互平行矢量的叉积一定等于零sinnABABenabeee任意两个矢量A与B的叉积是一个矢量，大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，方向垂直于矢量A与B组成的平面，记为11叉积的图示右手螺旋关系矢量积不服从交换律，但服从分配律ABBA()ABCABACCBAanaBaAOC＝A×BBA(a)(b)12场——描述在空间一定区域所有点的一个物理量矢量场——矢量的空间分布构成矢量场标量场——静态场：场不随时间变化(staticfield）也称为时不变场（time-invariantfield）静止电荷产生的场（静电场）、恒定电流建立的场（静磁场）时变场（time-varingfield）温度场、气体压力、海拔、电位流体的速度和加速度、重力场、电场例例场的概念标量的空间分布构成标量场每点单纯用一个数来说明空间每个点的量同时用大小和方向来说明矢量的大小及方向与空间坐标无关——常矢量或常矢131.4标量场的梯度方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。lPPllPΔ)()(lim0Δ例如标量场在P点沿l方向上的方向导数定义为PlPllΔP标量场中各点标量的大小可能不等，因此某点标量沿着各个方向的变化率可能不同。14梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。zyxzyeeexgradzyxzyxeeegrad在直角坐标系中，标量场的梯度可表示为式中grad是英文字母gradient的缩写。若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为15•令u(x,y,z)=C,C为任意常数标量场的等值面一个标量场u可以用一个标量函数来表示直角坐标系u=u(x,y,z)曲面•梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。等值面16lulu梯度的性质（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影（2）标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。例梯度运算规则17通量：矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即1-5矢量场的通量与散度SdSA通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。18由物理得知，真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数0之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。Sq0dSE19散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即VSVΔdlimdiv0ΔSAA式中div是英文字母divergence的缩写，V为闭合面S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中散度可表示为zAyAxAzyxAdiv20因此散度可用算符表示为AAdivSVVdddivSAA高斯定理(散度定理)SVVddSAA或者写为从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。因此，如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。21zAyAxAAdivzyx在直角坐标系中，散度的表达式为算符xyzeeexyz()xyzxxyyzzyxzAAAxyzAAAdivxyzAeeeeeeAASdAdVASV散度定理22()ABAB()AAA散度运算规则()()CC为常数AA222222xyzxyzdivgraduuuuuaaaaaaxyzxyzuuuxyz直角坐标系，梯度的散度为23222222zyxazayaxazayaxzyxzyx如果要求梯度的散度，就要进行“·”的运算，·记作2，叫作拉普拉斯算符，在直角坐标下，按算符的定义拉普拉斯算子(LaplaceOperator)2()uuu例24环量：矢量场A沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场A沿该曲线的环量，以表示，即1-6矢量场的环量与旋度ldlA可见，若在闭合有向曲线l上，矢量场A的方向处处与线元dl的方向保持一致，则环量0；若处处相反，则0。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。25由物理学得知，真空中磁感应强度B沿任一闭合有向曲线l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率0的乘积。即式中电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。Il0dlB26旋度：旋度是一个矢量。若以符号rotA表示矢量A的旋度，则其方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即SlSΔdlimrotmax0ΔnlAeA式中rot是英文字母rotation的缩写，en为最大环量强度的方向上的单位矢量，S为闭合曲线l包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。27直角坐标系中旋度可用矩阵表示为zyxzyxAAAzyxeeeArot或用算符表示为AArot应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。28斯托克斯定理lSdd)rot(lASA同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的场和包围区域S的闭合曲线l上的场之间的关系。因此，如果已知区域S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界l上的场，反之亦然。lSdd)(lASA或者写为29()ABAB()AAA旋度运算规则()()CCC为常数AA例已知一矢量场F=exxy-ey2x,试求该矢量场的旋度.梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性30散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。1-7无散场和无旋场两个重要公式：0)(A0)(左式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等于零。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。右式表明，任一标量场的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。31若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为1-8亥姆霍兹定理)()()(rArrFVVd)(π41)(rrrFrVVd)(π41)(rrrFrA式中可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。321-9正交曲面坐标系已知矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为zrcbaeeeA式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？eeeAcbar圆柱(r,,z)yzxP00=0r=r0z=z0rezeeOxzy=000球(r,,)r=r0=0ereeP0O直角(x,y,z)zxy