江苏省南京市2014届高三考前冲刺训练(南京市教研室)数学Word版含答案

DABC南京市2014届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，π2ω≥π2，3ωπ＝kπ，即0＜ω≤1ω＝k3，其中k∈Z，则k＝13或k＝23或k＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若AC→·BD→＝－12，则AD→·BC→＝．【答案】0．【提示】以AB→，AD→为基底，则AC→＝AD→＋13AB→，BD→＝AD→－AB→，则AC→·BD→＝AD→2－23AB→·AD→－13AB→2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，所以cos∠BAD＝12，则∠BAD＝60o，则AD→·BC→＝AD→·(AC→－AB→)＝AD→·(AD→－23AB→)＝AD→2－23AB→·AD→＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12·2πr·l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2log2t)(t＞1)，则B(t2，2log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b－c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t．如图，当直线y－x＝t与曲线y＝x2相切时，t最小．此时令y′＝2x＝1，解得x＝12，于是y＝14，所以tmin＝14－12＝－14．当直线过点A时，t最大．由y＝2x2，x＋y＝2，解得A(－1＋174，9－174)，所以tmax＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a－2b2c的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是．【答案】{－1＋52，1＋52}．【提示】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{an}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，即2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，则可得q2＝q＋1，又q＞0解得q＝1＋52；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，即2q＝1＋q3，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{an}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以an＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sinB＝3cosB．(1)若cosA＝13，求sinC的值；(2)若b＝7，sinA＝3sinC，求三角形ABC的面积．解(1)由2sinB＝3cosB，两边平方得2sin2B＝3cosB，即2(1－cos2B)＝3cosB，解得cosB＝12或cosB＝－2(舍去)．又B为三角形内角，则B＝π3．因为cosA＝13，且A为三角形内角，则sinA＝223，故sinC＝sin(B＋A)＝sin(π3＋A)＝32cosA＋12sinA＝3＋226．(2)解法一因为sinA＝3sinC，由正弦定理可得a＝3c．由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB，则7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，则a＝3．面积S＝12acsinB＝334．解法二由sinA＝3sinC得sin(C＋B)＝3sinC，即sin(C＋π3)＝3sinC，则12sinC＋32cosC＝3sinC，即32cosC＝52sinC，故可得tanC＝35．AEDCB又C为三角形的内角，则sinC＝2114．由正弦定理知bsinB＝csinC，则c＝1．又sinA＝3sinC＝32114，故面积S＝12bcsinA＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC中，三内角为A、B、C，a＝(3cosA，sinA)，b＝(cosB，3sinB)，c＝(1，－1)．(1)若a·c＝1，求角A的大小；(2)若a//b，求当A－B取最大时，A的值．解(1)a·c＝3cosA－sinA＝2cos(A＋π6)＝1，则cos(A＋π6)＝12．因为A∈(0，π)，则A＋π6∈(π6，7π6)，则A＋π6＝π3，则A＝π6．(2)因为a//b，所以3cosA·3sinB＝sinA·cosB，则tanA＝3tanB．由于A、B为三角形内角，则A、B只能均为锐角，即tanA＞0，tanB＞0．tan(A－B)＝tanA－tanB1＋tanA·tanB＝2tanB1＋3tan2B＝21tanB＋3tanB≤223＝33，当且仅当1tanB＝3tanB时，B＝π6取“＝”号．又A－B∈(－π2，π2)，则A－B的最大值为π6，此时A＝π3．所以，当A－B的最大时，A＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．(1)求证：AE//面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．证明(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE/面DBC，DO面DBC，故AE//面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD．又AD面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，ABBCA1B1C1MNA＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解(1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB//A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC2＝AB2＋AC2，从而可得∠BAC=90o，即AB⊥AC．又MN//AB，则AC⊥MN．因为MN∩A1N＝N，MN面A1B1MN，A1N面A1B1MN，所以AC⊥平面A1B1MN．又AC平面A1ACC1，所以平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈(0，2am2m＋1]，其中m是常数．若x＝a2时，y＝a3．(1)求产品增加值y关于x的表达式；(2)求产品增加值y的最大值