数值分析2014年复习题部分答案

1.求一个次数不高于4次的多项式，使它满足．解法一（待定参数法）满足的Hermite插值多项式为设，令得于是解法二（带重节点的Newton插值法）建立如下差商表这样可以写出Newton插值公式3.设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处与的值，并估计误差．解步长，．在区间上的线性插值函数分段线性插值函数定义如下，各区间中点的函数值及插值函数值如表所示估计误差：在区间上而令得的驻点，于是故有结论，右端与无关，于是有，4.设且．求证：证明以和为插值节点建立的不超过一次的插值多项式应用插值余项公式有8.求函数在指定区间上关于的最佳平方逼近多项式．解对做线性变换，即利用勒让德正交多项式为基建立的一次最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近为10.计算积分，若复化梯形公式，问区间应分多少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份？解由于，故对复化梯形公式，要求即。取，即将区间分为213等份时，用复化梯形公式计算，截断误差不超过。用复化辛普森公式，要求即。取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度。12.已知。（1）推导以这3个点作为求积节点在上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算。解（1）过这3个点的插值多项式故其中故所求的插值型求积公式为（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将代入上述求积公式，有故上述求积公式具有3次代数精确度。（3）由于该求积公式具有3次代数精确度，从而为的精确度。13.确定中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度。解令，代入公式两端并令其相等，得解得令，得令，得故求积公式具有3次代数精确度。17.用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，18.设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。19.设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。23.对于迭代函数，试讨论：（1）当为何值时，产生的序列收敛于；（2）取何值时收敛最快？（3）分别取计算的不动点，要求解（1），根据定理7.3，当，亦即时迭代收敛。（2）由定理7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。（3）分别取，并取，迭代计算结果如表7-4所示。01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此时都达到。事实上，24.设，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。解要求三阶收敛到的根，根据定理7.4，应有于是由得故取即迭代至少三阶收敛。