江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）=．2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是．3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为．4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有人．5．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是．6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于．7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是．9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是．10．（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=．11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是．12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是．13．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣2，则f（log6）=．二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15．（8分）集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x＜7}，C={x|x＜a}，（1）求A∪B；（2）求（∁RA）∩B；（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．（8分）函数y=a2x+2ax﹣1（a＞0且a≠1）在区间[﹣1，1]上有最大值14，试求a的值．17．（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x2﹣6x+8|﹣a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？18．（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a＞0且a≠1）．若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？19．（10分）已知函数f（x）=2ax+（a∈R）．（1）当0＜a≤时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=lg．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）≤1，求实数x的取值范围；（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置．）1．（3分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集U，以及A，B，求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可．解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴∁∪A={4}，∁∪B={0，1}，则（∁∪A）∪（∁∪B）={0，1，4}，故答案为：{0，1，4}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（3分）函数y=log2（3x﹣2）的定义域是{x|x＞}．考点：函数的定义域及其求法．分析：对数函数的真数一定要大于0，即，3x﹣2＞0，从而求出x的取值范围．解答：解：因为3x﹣2＞0，得到x故答案为：{x|x＞}点评：对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于0．3．（3分）如图，设实数a，b，c，d＞0，且不等于1，曲线①，②，③，④分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为d＞c＞a＞b．考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可．解答：解：由函数的图象可得①y=ax是减函数，②y=bx是减函数，故底数a，b都是大于0且小于1的实数．作出直线x=1和函数①②图象的交点，可得a＞b，故0＜b＜a＜1．由函数的图象可得函数③y=logcx和④y=logdx是增函数，故底数c，d都是大于1的实数．作出直线y=1和函数③④图象的交点，可得d＞c，故有d＞c＞1．综上可得d＞c＞a＞b故答案为：d＞c＞a＞b点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题4．（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有33人．考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据学生学特长之间的关系即可得到结论．解答：解：∵学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，∴学绘画和学音乐的人数是100﹣21=79人，∵学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，∴同时学绘画和音乐的学生有67+45﹣79=33人，故答案为：33点评：本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础．5．（3分）已知幂函数y=xα的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是f（x）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα，把点（8，4）代入即可解出．解答：解：设幂函数f（x）=xα，把点（8，4）代入可得4=8α，解得．α=∴f（x）=．故答案为：f（x）=．点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题．6．（3分）已知函数f（n）=，其中n∈N，则f（8）等于7．考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据解析式先求出f（8）=f[f（13）]，依次再求出f（13）和f[f（13）]，即得到所求的函数值．解答：解：∵函数f（n）=，∴f（8）=f[f（13）]，则f（13）=13﹣3=10，∴f（8）=f[f（13）]=10﹣3=7，故答案为：7．点评：本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．7．（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果．解答：解：log512==．故答案为：．点评：本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力．8．（3分）函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，u=x2﹣2x在（2，+∞）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．解答：解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2，u=x2﹣2x在（2，+∞）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查对数函数的单调性和应用，解题时要认真审题，注意灵活运用“同增异减”求解复合函数的单调区间的方法．9．（3分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，若f（x）＞f（2﹣x），则x的取值范围是（1，2）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，则f（x）＞f（2﹣x），等价为，解出即可．解答：解：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，则f（x）＞f（2﹣x），等价为，解得，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题．10．（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=﹣．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则和换底公式求解．解答：解：（log43+log83）（log32+log92）+log=（log6427+log649）（log94+log92）+=log64243•log98+=﹣=﹣=1﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用．11．（3分）函数f（x）=xlog2x﹣3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是2．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：求f′（x），判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数，并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2﹣ln2，+∞）内．容易判断f（2）＜0，f（3）＞0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（k，k+1），k∈Z，内有零点，所以k=2．解答：解：f′（x）=ln2+log2x，令f′（x）=0得，x=2﹣ln2，且0＜2﹣ln2＜1；∴x∈（0，2﹣ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（0，2﹣ln2）上单调递减，在（2﹣ln2，+∞）上单调递增；又x趋向于0时，log2x＜0，x＞0，∴xlog2x＜0，即函数f（x）在（0，2﹣ln2）内不存在零点；又∵f（2）=2﹣3＜0，f（3）=3log23﹣3＞0；∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2﹣ln2，+∞）内只有一个零点；由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；∴k=2．故答案为：2．点评：考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数零点的概念，以及单调函数取得零点的情况．12．（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0≤m≤4．考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：问题等价于mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，分m=0，和m≠0两种情况可得答案．解答：解：∵函数f（x）=的定义域是一切实数，∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，当m=0时，上式变为1＞0，恒成立，当m≠0时，必有，解之可得0＜m≤4，综上可得0≤m≤4故答案为0≤m≤4点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属基础题．13．（3分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．考点：二次函数的性质．专题：计算题；数形结合．分析：根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解解答：解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]点评：本题考查了二次