数学建模的实验报告

一、问题路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、数学模型已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。R1R2P2h2P1h1α1Qα2xSxyO经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为：21111sinRapI22222sinRapI其中：R12=h12+x2R22=h22+(S-x)2则Q点的光照强度Ix=I1+I2分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。三、算法与编程1.当h1=5m，h2=6m时:symptomsxyx=0:0.1:20;y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3);plot(x,y)gridon;-505101520250.010.020.030.040.050.060.070.080.09在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点①对Ix求导：symsxf=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)②运用MATLAB求出极值点s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8)s1=.28489970e-18.5383043+11.615790*i19.9766969.33829918.5383043-11.615790*i③根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：symsxI=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);subs(I,x,19.9767)subs(I,x,9.3383)subs(I,x,0.02849)ans=0.0845ans=0.0182ans=0.820综上，在19.3米时有最亮点；在9.33米时有最暗点2.当h1=5m，3mh29m时：①对h2求偏导，并令其为0：x0.028499.3382919.9766I0.08200.01820.0845②运用MATLAB求出极值点solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h③对x求偏导，并令其为0：④通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.4223928896768612557104509932965⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到Ih=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))x=9.5032I=0.01863．当h1，h2均在3m-9m之间时:①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/2)')solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=2^(1/2)*h1-2^(1/2)*h1ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：③利用MATLAB，求得x值：s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6)s1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i④按照实际需求，选择x=9.32525⑤带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点h1=(1/sqrt(2))*9.32525h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525)h1=6.5939h2=7.5482四、计算结果1.当h1=5m，h2=6m时:x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。2.当h1=5m，3mh29m时：x=9.5032,h2=7.42239时，路面上最暗点的亮度最大，I=0.0186w。3.当h1，h2均在3m-9m之间时:h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525时，路面上最暗点的亮度最大。2火箭问题小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m。求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。解析：火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数，m(t)=11400-18t火箭升空速度和加速度变化可分为两个阶段；第一阶段：燃料燃烧产生的推力恒定，随着燃料的不断消耗，火箭的质量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。第二阶段，燃料耗尽，此时火箭的质量m恒定。引擎关闭的瞬间，火箭剩余质量：m=1400-1080=320kg，由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。火箭将达到最高速度。五、算法与编程由题目已知条件可设置变量：加速度a质量m时间t速度v合力f求出有关于v的微分方程第一阶段clearsymsamtvfm=1400-18*tf=32000-0.4*v^2-9.8*ma=f/mm=1400-18*tf=18280+882/5*t-2/5*v^2a=(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t)odefun=@(t,v)(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t);s=cumsum(v).*0.1;subplot(2,2,1)plot(t,s);gridonxlabel('时间');ylabel('高度')title('1.h/t')[t,v]=ode45(odefun,[0:0.1:60],[0]);subplot(2,2,2)plot(t,v);gridonxlabel('时间');ylabel('速度')title('2.v/t')a=diff(v)/0.1;t2=[0:0.1:59.9];subplot(2,2,3)plot(t2,a);gridonxlabel('时间');ylabel('加速度')title('3.a/t')0204060050001000015000时间高度1.h/t02040600100200300时间速度2.v/t0204060051015时间加速度3.a/t第二阶段火箭由重力作用上升，燃料耗尽后火箭质量为320kg。由牛顿第二定律可再次列出微分方程，t60s.记y=(h,v)Tfunctiondy=Rocket(t,y)dy=[v;-9.8-0.4*v.^2/320];ts=0:60x0=[0,0];[t,x]=ode45(@Rocket,ts,x0);[t,x]forn=1:2000T=100-0.01*n;tss=60:0.02:T;y0=[x(61,1),x(61,2)];option=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);[t2,y]=ode45(@Rocket,tss,y0,option);[t2,y];ify(:,2)=0breakendendplot(t,x(:,1),'b',t2,y(:,1),'r'),grid,title('图1.高度-时间')xlabel('t/s')ylabel('h/m')pauseplot(t,x(:,2),'b',t2,y(:,2),'r'),grid,title('图2.速度-时间')xlabel('t/s')ylabel('v/(m/s)')pausea=(32000-0.4*x(:,2).^2)./(1400-18*t)-9.8;a2=-9.8-0.4*y(:,2).^2/320;plot(t,a,'b',t2,a2,'r'),grid,title('图3.加速度-时间')xlabel('t/s')ylabel('a/(m/s^2)')六、计算结果由MATLAB求解得：引擎关闭瞬间引擎关闭瞬间：火箭的高度为h=12190m，速度v=267.26m/s，加速度a=0.91701m/s2。引擎关闭后：当t=71.31s时，火箭上升到最大高度h=13115m，此时火箭的速度v=0.019874，几乎可认为已经停止，加速度a=-9.8m/s2。