江苏省南通市2014届高三上学期期末考试数学试题

开始结束01Sn，1SSn2nn输出SYNna2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.复数i2iz（其中i是虚数单位）的虚部为．2.某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为.3.函数221()4xxfx的值域为．4.分别在集合A{1，2，3，4}和集合B{5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为．5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为30xy，则双曲线C的离心率为.6．如图是计算101121kk的值的一个流程图，则常数a的取值范围是．7.函数y=πsin23x的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A.图象上所有点向右平移π6个单位；B.图象上所有点向右平移π3个单位；C.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D.图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母：.（只要填写一组）8.记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数()fx和()gx的定义域都是R，则“()fx和()gx都是偶函数”是“函数()max()()Fxfxgx，为偶函数”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：2248190xyxy关于直线l：250xy对称的圆C2的方程为．10.给出以下三个关于x的不等式：①2430xx，②311x，③2220xmxm．若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是．6785563401EADBCFPOAB东北CD11.设π02，且113coscos()714，，则tan的值为．12.设平面向量a，b满足32≤ab，则a·b的最小值为．13.在平面直角坐标系xOy中，曲线22491xy上的点到原点O的最短距离为．14.设函数()yfx是定义域为R，周期为2的周期函数，且当11x，时，2()1fxx；已知函数lg||0()10xxgxx，，，．则函数()fx和()gx的图象在区间510，内公共点的个数为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a(cossin)，，b(cossin)，，其中0π．（1）若ab，求3ab的值；（2）设向量c03，，且a+b=c，求，的值．16．如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC平面ABC，60BAC，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且ADAC．求证：（1）//EF平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17．如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60的方向，且在港口A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？OxyABlADCBO·18．设公差不为零的等差数列na的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足2371574aaSa，．（1）求数列na的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得+12mmmaaa为数列na中的项．19.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为51．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且π2AOB．①求证：原点O到直线AB的距离为定值；②求AB的最小值．20．设函数2lnfxaxbx，其图象在点22Pf，处切线的斜率为3．（1）求函数fx的单调区间（用只含有b的式子表示）；（2）当2a时，令gxfxkx，设1x，2x12xx是函数0gx的两个根，0x是1x，2x的等差中项，求证：0()0g'x（()g'x为函数gx的导函数）．21A.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C．若DA=DC，求证：AB=2BC．21B.已知矩阵A的逆矩阵A212143411，求矩阵A的特征值．21C.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxy，（为参数）的左焦点，且与直线423xtyt，（t为参数）平行的直线的普通方程．【填空题答案】1.252.723.04，4.345.26.1921，7.BD（DA）8.充分不必要9.221xy10.10，11.312.513.1614.1515.【解】（1）因为a(cossin)，，b(cossin)，，所以11，ab．……2分因为ab，所以a·b=0．……………………………4分于是22233234ababab，故32ab．…………6分（2）因为a+bcoscossinsin03，，，所以coscos0sinsin3，．…………………………8分由此得coscosπ，由0π，得0ππ，又0π，故π．………………………………10分代入sinsin3，得3sinsin2．…………………12分而0π，所以2ππ33，．…………………14分16.【证】（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF//PC．………2分又因为EF平面PBC，PC平面PBC，所以//EF平面PBC．………………5分（2）连结CD．因为60BAC，ADAC，所以△ACD为正三角形．因为F是AC的中点，所以DFAC．…………………7分因为平面PAC平面ABC，DF平面ABC，平面PACI平面ABCAC，所以DF平面PAC．……………………11分因为DF平面DEF，所以平面DEF平面PAC．…………………………14分17.【解】（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，3060AOBOABoo，．于是60AB，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．…………………………………………………………………7分在△OAB中，可计算得603OB，而在△OCB中，6020(2)30BCtOCtBOCo，，，………………………9分由余弦定理，得2222cosBCOBOCOBOCBOC，即2223(60)60320(2)260320(2)2ttt，亦即285130tt，解得1t或138t（舍去）．……………………………12分故23t．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分18.【解】（1）因为na是等差数列，且77S，而17747()72aaSa，于是41a．…2分设na的公差为d，则由23154aaa得(12)(1)5134ddd，化简得282790dd，即(3)(83)0dd，解得3d或38d，但若38d，由41a知不满足“数列na的各项均为整数”，故3d．………5分于是4(4)311naandn．……………………………………………………7分（2）因为+12(3)(6)189mmmmmmmmaaaaaaaa，3113(4)1nann，……10分所以要使+12mmmaaa为数列na中的项，18ma必须是3的倍数，于是ma在1236，，，中取值，但由于1ma是3的倍数，所以1ma或2ma．由1ma得4m；由2ma得3m．…………………………………………13分当4m时，+1213471mmmaaaa；当3m时，+123142mmmaaaa．所以所求m的值为3和4．…………………………………………………………16分另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311mmmaammmmamm1823332323113(4)1mmmm，所以要使+12mmmaaa为数列na中的项，2333(4)1m必须是3的倍数，于是3(4)1m只能取1或2．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为22221(0)yxabab，焦距为2c，离心率为e．于是2b．设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为d，则AFeAFedd，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以51ac．……………………………………………………………………3分因为222515221acabbcabc，，，，，所以椭圆方程为22154xy．………………………………………………………5分（2）①设原点O到直线AB的距离为h，则由题设及面积公式知OAOBhAB．当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，52OAOB，或52OBOA，．于是2525345d．………………………………………………………………7分当直线OA的斜率k存在且不为0时，则22222115454xyxkxykx，，解得222221154154AAxkkyk，．同理222221115411154BBxkkyk，．………………………………………9分在Rt△OAB中，22222222OAOBOAOBhABOAOB，则222222222222222111111115544545411111kkkOAOBkhOAOBOAOBkkkk221111454511945201kk，所以253h．综上，原点O到直线AB的距离为定值253．……………………………………11分另解：2222222222222222222111111111554411111111155441115544kkkkOAOBkkhOAOBkkkkkkkk222212999920201020kkkk，所以253h．②因为h为定值，于是求AB的最小值即求OAOB的最小值．22OAOB2222222211121114111120400554204kkkkkkkk，令221tkk，则2t≥，于是22OAOB220401202011412041204120400ttttt，…………………14分因为2t≥，所以22116002018181OAOB≥，当且仅当2t，即1k，OAOB取得最小值409，因而min4045932