数学建模课件—层次分析法

优化建模第4讲层次分析法建模欢迎各位参加数学建模竞赛的培训优化建模决策:人们选择或进行判断的一种思维活动,实践中要对某些系统的重要性做出恰当的评价,以列出它们的轻重缓急,从而集中解决重要的问题。复杂问题分解成因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构层次分析法的基本思路衡量各方面的影响综合判断,做出决策优化建模层次分析法（Theanalytichierarchyprocess）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家,匹兹堡大学教授托马斯·莎丁（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。优化建模一、层次分析法的基本原理１、递阶层次结构原理将问题所包含的因素分层，一般划分为（1）最高层：一般只有一个元素，表示解决问题的目的；（2）中间层：表示为实现总目标所涉及的中间环节，可分为策略层、约束层、准则层等（3）最低层：用于解决问题和各种措施、方案等。优化建模2、测度原理：社会、经济系统的测度具有以下特点:(1)测度对象的属性大多具有相对性质,无法确定统一的标度.(2)测度对象的环境时常变化,即使有一种统一尺度,由于环境的变化也会使其失去常规意义.(3)社会、经济系统缺少必要的测度工具,往往需要人的判断.层次分析法提供了测度决策因素的基本方式,采用相对标度进行两两比较,统一对有形与无形、可定量与不可定量的因素进行测度。优化建模3、排序原理：一组元素两两比较其重要性,计算元素相对重要性的测度问题。优化建模二、层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。优化建模目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途1.建立层次结构模型例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.优化建模将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。优化建模1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地优化建模nnnnnn21222121211171242/11A成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令权向量~),,(21Tn成对比较阵和权向量竞赛培训课件优化建模wAwnnnnnn212221212111成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵，如•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量竞赛培训课件优化建模2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:jiCC:~aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量竞赛培训课件优化建模一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下n123456789101112131415RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.521.541.561.581.59竞赛培训课件优化建模“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.0721•权向量(特征向量)w=(0.2636,0.4758,0.0538,0.0981,0.1087)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.01610.1通过一致性检验竞赛培训课件[V,D]=eig(A),V为成对比较阵A的特征值，D的列为相应特征向量。再标准化，V(:,1)/(ones(1,5)*V(:,1)),CI=(lamda-5)/4;CR=CI/1.12MATLAB优化建模组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵竞赛培训课件31131131/31/31B方案层对C3(居住)的成对比较阵41341/3111/411B方案层对C4(饮食)的成对比较阵5111/4111/4441B方案层对C1(旅途)的成对比较阵优化建模第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCR10.59540.27640.12833.0050.00480.001300.007903.0020.68170.23630.0819230.14290.42860.428633.0090.17440.19190.6337430.66670.16670.16675组合权向量RI=0.58(n=3),CRk均可通过一致性检验竞赛培训课件优化建模0.29930.24530.4554方案层对目标的组合权重为方案层对目标的组合权向量为(0.2993,0.2453,0.4554)T组合权向量(3)(3)(2)0.26360.59540.08190.42860.63370.16670.47580.27640.23630.42860.19190.16670.05380.12830.68170.14290.17440.66670.09810.1087优化建模Tn),,()2()2(1)2()2()3()3(组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵竞赛培训课件优化建模层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。竞赛培训课件优化建模三.层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。竞赛培训课件优化建模应用实例1:城市空气质量分析