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数学模型思想目录数学模型模型的含义及分类数学模型的含义数学模型的匪类数学模型方法含义及辨析应用基本步骤数学模型与数学教育在中学数学中的体现（内容角度）课标、教材课程追求的境界在中学数学中的渗透数学建模活动教学中的渗透渗透数学模型思想的意义[1]刘兆明主编.中学数学方法论[M].武汉：湖北教育出版社.1987.[2]徐利治著.数学方法论选讲[M].华中工学院出版社.1983.参考文献[4]钱佩玲，邵光华编著.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社.2008.[5]钱佩玲主编.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社.2001.[7]李树臣.渗透数学模型思想的基本途径[J].中学数学杂志,2012,10:7-11.[8]杨承军.义务教育阶段渗透数学模型思想的意义与策略探究[J].教育评论,2014,04:117-119.[9]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006,01:9-11.[6]李延林.数学建模引导高中学生进入用数学的新阶段[J].数学通报,2005,10:21-23.[3]张思明.努力发挥数学应用和数学建模活动的教育作用[J].数学教学,1998,03:29-31.什么是数学模型？原型模型原型就是人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象，这些实际对象在科技领域通常用系统或过程等词汇。例如机械系统、交通系统、导弹飞行过程，等等。模型是指人们为一定的目的对原型的某一部分信息加以简略和提炼而构建出来的这个原型的某个代替物。例如，城市交通图是城市的一个模型．模型分类物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型物理模型思维模型符号模型数学模型模型的分类从广义上讲凡一切数学概念（向量、实数等）、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程等等）以及由公式系列构成的算法系统等称作数学模型从狭义上讲只有那些反应特定问题或特定的具体事务系统的数学关系结构才叫数学模型。数学模型：是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。应用领域了解程度表现特征数学方法人口模型、交通模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等等白箱模型、灰箱模型、黑箱模型确定性模型与随机性模型、静态模型与动态模型、离散模型与连续模型初等模型、运筹学模型、几何模型、微分方程模型、概率统计模型等等。数学模型的分类确定性数学模型：模型相应的实际对象具有确定性和固定性，对象间又具有必然的联系，这类模型的表示形式可以是各种各样的方程式、关系式、网络图等，所使用的方法是经典的数学方法。例如：在标准大气压下，把水加热，当温度升高到100℃的时候，水必然开始沸腾。随机性数学模型：这类模型的实际对象具有随机性，数学模型的表示工具是概率论、数理统计及随机过程等。例如：在一定的条件下，一只鸡蛋可以孵化出一只小鸡，小鸡是雄是雌却具有随机性，它也受一种自然规律的支配。模糊性数学模型：这类模型所对应的实体对象及其关系均具有模糊性，数学模型的基本表示工具是模糊几何理论及模糊逻辑等。例如：“远大于10的自然数”。数学模型方法含义应用基本步骤数学理论研究的经典方法；研究自然界和社会实际问题的一般数学方法。数学模型方法——含义•数学模型：数学关系结构•数学模型方法（mathmaticalmodelingmethod）：简称MM方法•借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法。•借助数学模型认识事物，数学抽象方法的直接应用和体现。•数学方法解决实际问题的第一步。例数学模型、数学模型思想、数学模型方法、数学建模•数学建模：运用数学知识、数学思想方法解决实际问题的过程（建立人口增长模型的过程）•数学模型：数学的数式、图表或算法等数学结构；（人口增长模型）•数学模型方法：（依托人口增长模型来分析人口增长趋势）•数学模型思想：将实际问题，化归成数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使实际问题得以解决的一种数学化归思想。根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数。时间/年份18301840185018601870188018901900人口数/百万3.9305.3097.2419.63912.86717.07023.19331.444时间/年份191019201930194019501960197019801990人口数/百万38.55950.51662.94975.99691.973105.712122.776131.670142.698数学模型方法——例•假设：•该国的政治经济社会环境稳定；•人口增长数由其人口的生育、死亡引起，与是否移民无关•该国的人口数量变化是连续的；•该国的每一个人有相同的生育能力和死亡几率返回数学模型方法——基本步骤•基本步骤（现实对象与模型的关系）现实人口增长模型问题数学抽象数学模型数学推导描点画图的函数并检验求解返回解释预测出2000年人口数检验现实原型问题数学模型的解现实原型的解数学模型方法——应用•数学之美地心说—日心说—行星运动—海王星•广泛应用原因数学模型与数学教育在中学数学中的体现中学中的两重含义在中学数学中的体现——课标•《义务教育数学课程标准》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。整体体现课程内容的核心。•初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。在中学数学中的体现——课标•《普通高中数学课程标准》高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展“数学建模”的学习活动,设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力•要求提高，不仅有数学建模的学习要求，而且要设立专题课程，增加课程中相互学应用的含量和力量。中学数学中的体现——教材•波利亚：“早已解决的问题”“辅助问题”•中学数学中的一切公式、定理、法则、图像、函数以及相应的运算系统都可以作为数学模型。•函数模型、不等式模型、复数模型、排列组合模型、概率统计模型、线性规划模型…中学中的数学模型：中学数学中的体现——教材•应用题：•有纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？不等式解决实际问题的步骤：设、列、解、答在中学数学中的体现——教材数学建模专题在高一年级四套教材中的位置在中学数学中的体现——课程高中数学建模常规课程运用函数知识建模运用几何知识建模运用统计知识建模寻找生活中的函数――让学生在自己的身边找出３个真实的函数学函数、用函数――让学生用函数知识解决一个具体问题。1．测量2.与包装有关的系列问题1.排行榜中的信息用统计方法解决实际问题2.用随机模拟的方法解决实际问题每个建模单元四个环节构成选题开题做题结题在中学数学中的体现——课程集中精力针对核心概念和重要内容，不遍地开花；所用的实际背景应能简明扼要的阐述清楚，不拖泥带水.不追求自成体系、自我完善，与原有内容有机衔接，自觉当好配角，让主角闪亮登场；三二一文字简洁通顺，不摆弄吓人的名词和概念，做到朴实无华，平易近人。四在中学数学中体现——追求的境界•课程内容本身就是数学模型•正数、负数；有理数的加法；分式；方程；函数等。•数学教学本身就是教给学生前人已经构造好的数学模型，渗透数学模型思想。如何在教学中渗透数学模型思想？数学教学本身数学建模活动数学建模活动已经成为数学教学的主旋律建立数学模型的一般步骤分析原型确定量的关系数学抽象数学计算模型检验分析现实原型的研究对象及关系结构的性质，以确定所要建立数学模型的类别。对数学模型进行数学推导和计算，得出数学结果。把数学模型应用于原型，得出实际原型问题的解，或得到检验，基本符合原型问题的数学模型就是一个成功的模型对原型问题合理简化，取主舍次，以便进行数学描述，用数学的语言和符号表示各种关系。确定能反映所要研究问题的基本量和关系，分辨量与量之间的关系的主次之分。必要时，可作一些假设。运用数学模型方法解决数学问题的框图现实原型问题数学模型数学模型的解现实原型问题的解检验可推演原则检验数学抽象简化原则反映性原则返回解释数学建模的的一般原则建立的数学模型一定要有数学意义，对其既能进行理论分析，又能进行计算和推理，且能推演出一些确定的结果.建立的数学模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”。所得模型的解既具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题。A简化原则C反应性原则B可推演原则对原型进行简化，抓主要因素、主变量，可通过作一些人为假设来减少系统中的变量个数在教学中渗透模型思想3.创设问题情境，引导学生进行实验探究等活动例子4.积极开展综合实践活动例子1.充分展示知识的形成过程例子2.实现数学化的教学策略例子一个概念的形成，伴随着数学模型的建立过程。•“零指数幂”的猜想。–提出猜想让学生根据同底数幂除法计算和除法计算得到不同的结果。提问学生：为什么会有不同的结果。学生猜想–质疑猜想以细胞分裂为情境，提出问题。数轴上的2的正整次幂的位置。–验证猜想验证这个规定与原来的幂的运算性质是相容的。数学化人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。——弗莱登塔尔实现数学化的教学策略•汽车报废年限的问题•某种汽车购买时费用为10万元，每年使用的费用为两部分：一是保险费及汽油费，这一块我们可看成是固定的，设为9千元。而是汽车的维修费用，这个费用随着使用年限的增加而增加，平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次递增，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）？•年平均费用=（购买费+每年的固定费用+维修费）/总年数•设汽车使用年限为N年，y为使用该汽车的年平均费用创设问题情境，引导学生进行实践探究活动•《义务教育课程标准》•教师在教学中应结合具体的教学内容创设问题情境，以此引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列的活动。•在一个国际活动中，来自不同国家的10位代表第一次见面，他们两两握手做自我介绍，试问：•1）在这次见面中有多少次不同的握手？•2）如果代表的人数多于10人，共有多少次握手？对于任意人数赴会，能否找出一种办法计算不同的握手次数？n2345y12610nn2121y2义务教育课程标准•数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。积极开展综合实践活动•根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动，努力体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程。•问题来源：课本知识与现实生活的结合处。现实性、问题性、实践性、综合性、探索性。•进入问题情境阶段——实践体验阶段——解决问题阶段。渗透模型思想的意义模型思想对实现其他课程目标具有支撑作用。一方面，能更好地实现课程目标。另一方面，模型思想渗透在课程内容之中渗透模型思想是促进学生可持续发展的必然要求。secondthirdfirst渗透模型思想是落实“领悟数学基本思想”这