数学高二(上)沪教版(向量的坐标表示及其运算)学生版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题向量的坐标表示及其运算教学目的1、理解平面向量的有关概念，掌握向量的坐标表示及运算法则2、掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则教学内容【知识梳理】知识点1向量及其表示1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如a读作向量a，向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示，如AB表示由A到B的向量。A为向量的起点，B为向量的终点）。向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）。【注意】既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量。向量与标量是两种不同类型的量，要注意加以区分。2.向量坐标的有关概念（1）基本单位向量：在平面直角坐标系内，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记,ij（2）将向量a的起点置于坐标原点O，作OA=a，则OA叫做位置向量，如果点A的坐标,xy，它在x轴和y轴上的投影分别为M,N，则OAOMON,axiyj。（3）向量的正交分解：在（2）中，向量OA能表示成两个垂直的向量,ij分别乘以实数,xy后组成的和式，该和式称为,ij的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序实数对,xy叫做向量a的坐标，记作a,xy3.向量的坐标运算：设a1122,,,,xybxyR则1212,abxxyy；1212,abxxyy；11,axy4.向量的模：设a,xy，由两点间距离公式，可求的向量a的模22axy【注意】（1）向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示。（2）向量的模是一个标量，并且是一个非负的实数。知识点2向量平行的充要条件已知a与b为非零向量，若a1122,,,,xybxy则a∥b的充要条件是1221xyxy，所以，向量平行的充要条件可表示为：a∥bab（其中为非零实数）1221xyxy。知识点3定比分点公式1.定比分点公式和中点公式已知1P11222,,,xyPxy是直线l上的任一点，且12,1PPPPR，P是直线12PP上的一点，令,Pxy，则121211xxxyyy，这个公式叫做线段12PP的定比分点公式，特别的1时，P为线段12PP的中点，此时121222xxxyyy，叫做线段12PP的中点公式。2.三角形重心坐标公式设△ABC的三个顶点坐标分别为112233,,,,,AxyBxyCxy，G为△ABC的重心，则12312333GGxxxxyyyy【典型例题分析】【例1】已知点A的坐标为2,0，点B的坐标3,0，且4,3APBP,求点P的坐标。变式练习：已知点A（4、0），B（4、4），C（2、6），O为坐标原点，求AC和OB交点P的坐标。P1PP2Oxy【例2】已知24,3,23,4abab，求,ab的坐标。变式练习：若向量a＝（１、１），b＝（１、－１），c=（－1、2），则c=（）A）－21a+23bB）21a－23bC）23a－21bD）－23a+21b【例3】设向量,,,,abcR，化简：（1）abcabcbc（2）2222abcabc【例4】已知向量2,3a，点A2,1，若向量AB与a平行，且213AB，求向量OA的坐标。【解析】本题中放入两个条件，要求两个变量，只需列出方程组，求解即可。变式练习：1、－2、1），Ｂ（—1、3），Ｃ（3、4），D（2、2），则（）A）AB∥BCB）AB=DCC）AB∥DCD）AC=（―５，―3）2若向量a=（2、m）与b=（m、8）的方向相反，则m=【例5】在直角坐标系内124,3,2,6PP，点P在直线12PP上，且122PPPP,求出P的坐标。变式练习：已知a=AB，B（1、0），b=（－3、4），c＝（－１、１），且a=3b－２c，求Ａ点的坐标。【例6】已知32,5,9,2atbt，若a∥b，求a，b的坐标。变式练习：1、已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与2a－b平行，则x=（）A）2B）1C）31D）212、下列命题：①a∥b存在唯一的实数，使得a＝b；②a∥b存在不全为零的实数1和2，使得1a＋2b＝0；③a、b不平行若1a＋2b＝0，则1＝2＝0；④a、b不平行不存在实数1和2，使得1a＋2b＝0。其中正确的命题是（）A)①④B)②③C)①③D)②④3、若三点P（1、1），A（2、－4），B（x、－9）共线，则（）A）x=－１B）x=3C）x=29D）x=51【例7】如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为1,1,5,3,4,5，直线l∥AB于D，且直线l平分ABC的面积，求D点的坐标。变式练习：若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点，且它们在初始时刻分别从A、B、C出发，各以一定速度沿各边向B、C、A移动，当t=1时，分别到达B、C、A。求证：在0≤t≤1的任何一时刻t1，△DEF的重心不变。yFEADBx【例8】如图，已知点12,PP的坐标分别为1122,,,xyxy，点P的坐标为2121,xxyy求证：12OPPP.变式练习：已知点O（0、0），A（1、2），B（4、5）及OP=OA+tAB，试问：1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。【例9】（1）若1,1,OAB点的坐标1,2tt，求AB最小值。（2）若sin,cos,2cos,3ab，且a∥b，求的值。yxoP1P2P变式练习：1、已知a=（2、3），b=（－5、6），则|a+b|=，|a－b｜＝2、已知|a|=3，|b|=4，|c|=5，则|a－b－c|的最大值为；最小值为。【课堂小练】1、设A、B、C、D四点坐标依次是（－１、０），（０、２），（４、３），（３、１），则四边形ABCD为（）A）正方形B）矩形C）菱形D）平行四边形2、设a=（23、sinα），b=（cosα、31），且a∥b，则锐角α为（）A）300B）600C）450D）7503、若A、B、C、D四点共线，且依次排开，C是BD的中点，AB=m，AC=n，则AD=（）A）2m－nB）2n－mC）n－mD）m+n4、在三角形ABC中，已知AB=a，CA=c，O是△ABC的重心，则OB+OC=5、若a=（2、－3），b＝（１、２），c＝（９、４），且c=ma+nb，则m=；n=；6、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，若AB=a，AD=b，试以a、b为基底表示DE和BF。【课后练习】一、基础巩固1.已知2,1OA,点1,3B,OCAB,则点C的坐标为（）A3,2B2,1C2,3D1,22.若非零向量1122,,,,axybxy则a∥b是1122xyxy的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件3.已知1,,2,4axbx，而12cab，且3c，则实数x的值为（）A1或2B1或2C1D24.已知2,5,2aba，若b与a反向，则b等于（）A4,10B4,10C51.2D51,25.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，与向量AB平行且模也相等的向量有（）A,,COOFDEB,,,,,COOCOFFODEEDC,,,COCFOFDED,,,,,,BACOOCOFFODEED6.ABC中，若1,1,3,5,8,3ABC,G是ABC的重心，则GA的坐标是（）A302，B102，C10，D01，7.已知：112211,3PPPPPPPP,则__________二、能力提升8.连接3,2,4,8AB的线段，点P在线段AB上，且34APAB,则点P的坐标_________9.已知1,2,3,4AB,点P是AB的定比分点，13BPAB,求点P的坐标。10.已知12,GG是,ABCACD的重心，G是12GG的中点，若A,B,C,D的坐标分别是0,02,5,5,7,10,2，求点G的坐标。三、创新探究11.已知O,A,B的坐标分别为0,0,1,2,4,5，且OPOAtAB（1）当t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由。ABCDEFO四、高考体验12.设P是ABC所在平面内一点，2BCBABP,则（）A0PAPBB0PCPAC0PBPCD0PAPBPC13.若平面向量,ab满足1,abab平行与x轴，2,1,ba__________