江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导线性递归数列

【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列}{na中的第n项na与它前面若干项1na，2na，…，kna（nk）的关系式称为递归式。②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。3、思想策略：构造新数列的思想。4、常见类型：类型Ⅰ：为常数）aaanpnqanpann()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1pqpaann（2）)0()(1pnqpaann（3）)0()(1pqanpann解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型Ⅱ：为常数）babaaaqpqapaannn,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法：利用特征方程qpxx2，求其根、，构造nnnBAa，代入初始值求得BA,。类型Ⅲ：)(1nnafa其中函数)(xf为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。【例题】例1、已知数列}{na满足以下递归关系14311aaann，求通项na。例2、已知数列}{na满足2)12(211anaann，求通项na。例3、已知数列}{na满足1)2(211annaann，求通项na。例4、已知数列}{na满足2,1232112aaaaannn，求通项na。例5、由自然数组成的数列}{na，满足11a，mnaaanmnm，求na。例6、已知数列}{na满足101a，4411nnanna（1n），求na。例7、已知)2()(xaxxf，且21)(0xf，方程xxf)(有唯一解，设)(1nnxfx（Nn），求nx。例8、已知数列}{na中，11a，)24141(1611nnnaaa，求na。例9、设正数列}{na满足12nnnaaa，证明21nan（2n，3，4，…）【练习】1、已知数列}{na满足以下递归关系，求na。（1）11a，1251nnaa（Nn）（2）11a，121naann（Nn）（3）21a，111nnanna（Nn）（4）21a，nannann211（Nn）（5）11a，nnanS2（nS为前n项和）（6）101a，4110nnaa（Nnn,2）（7）1322112aaaaannn2、已知数列}{na和}{nb中，101a，131b，且nnnbaa421，nnnbab751，求na和nb。3、已知00x，114521nnnxxx（0n，1，2，3，4，…），证明Nxn（Nn）。4、已知数列}{na满足：)31(arccoscos3nann，证明na是不能被3整除的整数。