数理统计第五章总结.

第五章知识点总结第1页第五章统计量及其分布§5.1总体与样本§5.2样本数据的整理与显示§5.3统计量及其分布§5.4三大抽样分布§5.5充分统计量第五章知识点总结第2页一、总体与样本总体可以用数集表示.总体可以用随机变量X或其分布F(x)表示.1.总体2.样本:.,,1nxx(1).性质：二重性随机性确定性(2).主要类型完全样本分组样本第五章知识点总结第3页(3).简单随机样本：),(~,,...1xFxxdiin(4).样本的联合分布函数：.)(),,(11niinxFxxF)()1()()1(,1)1,,1(,,0)(nkknxxnkxxxnkxxxF(5).经验分布函数:(6).经验分布函数与总体分布函数的关系当样本量n相当大时，Fn(x)依概率收敛于F(x).E[Fn(x)]F(x),Var[Fn(x)]F(x)[1-F(x)]/n.第五章知识点总结第4页二、样本数据的整理与显示频数频率分布表直方图茎叶图频数直方图频率直方图频率/组距直方图普通茎叶图背靠背茎叶图第五章知识点总结第5页三、统计量及其分布1.统计量：T(x)样本的函数.),,(1nxxx表达式中不含有总体中的任何未知参数.有用的统计量的抽样分布必须与参数有关，抽样分布精确分布(小样本场合使用)渐进分布(大样本场合使用)第五章知识点总结第6页2.样本均值及其抽样分布(1).样本均值的类型：.1nxxxn分组样本均值：,11nnxnxxkk完全样本均值：.0)(1niixx(2).样本均值的性质：样本所有偏差之和为0：.)()(1212niiniicxxx偏差平方和最小：(3).样本均值的分布：.)()(2XVarXE或),(~2nNx),,(~2nNx其中第五章知识点总结第7页3.样本方差及其性质(1).样本方差的类型：分组样本均值：完全样本方差：212*)(1niixxns212)(11niixxns.11212xnxnnii2112111niiniixnxnniiixxnns122)(11.11212xnxnnniii第五章知识点总结第8页(2).样本均值、样本方差的数字特征：,)()(2XVarXE若则.1)(,)(,)(,)(22*222nnsEsEnxVarxEn1称为偏差平方和的自由度.niixx12)(注：第五章知识点总结第9页4.样本矩及其函数(1).样本k阶原点矩：.11nikikxna(2).样本k阶中心矩：.)(11nikikxxnb2/323ˆbbs(3).样本偏度：3ˆ224bbk(4).样本峰度：第五章知识点总结第10页5.次序统计量及其分布(1).次序统计量：)()2()1(,,,nxxx;,,,min21)1(nxxxx.)1()(xxRnn样本极差：最小次序统计量：注：样本独立同分布.nxxx,,,21次序统计量未必独立，)()2()1(,,,nxxx也未必同分布.;,,,max21)(nnxxxx最大次序统计量：第五章知识点总结第11页(2).次序统计量的分布).()](1[)]([)!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk次序统计量x(k)的密度函数为.)()](1[)(11xpxFnxpn.)()]([)(1xpxFnxpnn最小次序统计量x(1)的密度函数为最大次序统计量x(n)的密度函数为.注：第五章知识点总结第12页次序统计量(x(i),x(j))(ij)的联合密度函数为.)!()!1()!1()()()](1[)]()([)](![11jnijizpypzFyFzFyFnjniji)(zy),(zypij次序统计量(x(1),x(n))的联合密度函数为.)!2()()()]()(![2nzpypyFzFnn)(zy),(1zypn第五章知识点总结第13页①.样本中位数:.2212)1()()(5.02221knxxknxmnnn，，，(3).次序统计量的函数及其分布②.样本p分位数:.2)1()(])1([ZnpxxZnpxmnpnpnpp，，，.)()1(,~2ppxpnppxN.)(41,~5.025.0xpnxN第五章知识点总结第14页四、三大抽样分布),1,0(~,,..1NXXdiin若)(122212niXX则).(~2n(一).分布(卡方分布)21.分布的构造：2),(~2nX若,)(nXE.2)(nXVar则),(~2mX),(~2nY若且X与Y独立，).(~2nmYX2.分布的性质：2则2.分布的分位数：2.1))((212nP第五章知识点总结第15页(二).F分布1.F分布的构造：,||21XX则nXmXF//21),(~21mX),(~22nX若).,(~nmF2.F分布的性质：.4,)4()2()2(2)(;2,2)(22nnnmnmnXVarnnnXE则).,(~1mnFX则),,(~nmFX若),,(~nmFX若3.F分布的分位数:1)),((1nmFFP).,(/1),(1mnFnmF注:第五章知识点总结第16页(三).t分布1.t分布的构造：,||21XX则nXXt/21),1,0(~1NX),(~22nX若).(~nt2.t分布的性质：.2,2)(;1,0)(nnnXVarnXE则).,1(~2nFX则),(~ntX若),(~ntX若3.t分布的分位数:1))((1nttP).()(1ntnt注:第五章知识点总结第17页(四).抽样基本定理则(2).与独立；x2s(1).);/,(~2nNx(3).).1(~)1(222nsn),,(~,,2..1Nxxdiin若注：).1(~)(ntsxn(4).第五章知识点总结第18页五、充分统计量则称统计量为参数θ的充分统计量.),,,(21nxxxT1.充分统计量若样本的条件分布与参数θ无关，)|,,,(21tTxxxFn2.充分统计量的判定：因子分解定理：统计量为参数θ的充分统计量),,,(21nxxxT);,,(1nxxf).,,()),,,((11nnxxhxxTg第五章知识点总结第19页一、判断题1.数理统计与概率论的推理方法不同，前者是演绎推理，后者是归纳推理.()E[Fn(x)]F(x).()2.抽自总体F(x)的样本的经验分布函数Fn(x)满足nxx,,1二、填空题1.查t分布分位数表得t0.95(5)2.015,则t0.95(5)+t0.05(5)().2.查t分布分位数表得t0.975(8)2.306,则t0.025(8)().3.由F分布分位数表得F0.95(10,5)4.74,则F0.05(5,10)().4.若F0.95(5,10)3.33,则F0.05(10,5)().5.若F0.95(12,6)4.00,则F0.05(6,12)().第五章知识点总结第20页6.对来自总体N(2,4)的样本,,,,2521yyyS2是样本方差，则b=().),24(~222sb若~/nYX且X与Y相互独立，则().),(~ntX8.若随机变量~12X则().),(~),1,0(~2nYNX7.若随机变量),(~ntX9.若随机变量~2X则().第五章知识点总结第21页三、选择题则下列样本的函数不是统计量的是（）.nxx,,11.设为来自于总体的样本，),(2N其中未知，2,}.,,max{.1nxxA}.,,min{.31xxB..1nxxCn./)(1.122niixnD.2.设是来自于总体N(1,42)的样本，1001,,xx则()..5,5.baA.5,5.baB.25,25.baC.2/5,2/5.baD为样本均值，x),1,0(~Nbxa若第五章知识点总结第22页.2s为样本方差，则下列结论正确的是（）.为样本均值，x3.若样本来自于总体,nxx,,1),(2N).(~)(1.2122nxAnii).1(~)(1.2122nxBnii).(~)(1.2122nxxCnii).1(~)(1.2122nxxDnii第五章知识点总结第23页为样本方差，则下列结论不一定正确的是（）.nxx,,14.设样本来自于总体),,(2N2s为样本均值，xA.x与独立.2sB.x与独立.2)1(snC.x与独立.niixx122)(1D.x与独立.niix122)(1第五章知识点总结第24页0,,);()1(axxaxp四、计算题的样本，统计量是否为参数θ的充分统计量？niixT1.0)().1(1niixx.)().2(21212xnxxxniinii五、证明题.设是取自于均匀总体U(0,1)的样本，证明nxx,,1设是来自来自于帕累托分布nxx,,1