江苏自考27173工程数学复习资料

第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式计算简单的古典概型的概率（不返回抽样、返回抽样）（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等：（3）互不相容：与B互不相容（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若，则AB=B，A+B=A∴ΩB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生∴，且A-B=A-AB（4）表示A不发生性质（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）叫结合律（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律（五）掌握概率的计算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）③推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推广：当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）性质若A与B独立与B，A与，与均独立（六）熟记全概率公式的条件和结论若A1，A2，A3是Ω的划分，则有简单情形熟记贝叶斯公式若已知，则（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式第二章随机变量及其变量分布（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率（1）若X是离散型随机变量，则P（ax≤b）=F（b）-F（a）（2）若X是连续型随机变量，则P（ax≤b）=F（b）-F（a）P（a≤x≤b）=F（b）-F（a）P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）P（ax＜b）=F（b）-F（a）（二）知道离散型随机变量的分布律会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若则（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律（1）X～（0,1）（2）X～B（n,p）P（x=k）=（3）X～P（λ）P（x=k）=（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。（1）概率密度f（x）的性质①f（x）≥0②（2）分布函数和概率密度的关系（3）分布函数的性质①F（x）右连续②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式：①P（axb）=F（b）－F（a）②P（aXb）=（五）掌握连续型随机变量的三种分布（1）X～U（a,b）X～f（x）=X～F（x）=（2）X～E（λ）①X～f（x）=②X～F（x）=（3）X～N（0,1）①X～②X～性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（ax≤b）=Φ（b）－Φ（a）（4）X～N（μ,σ2）①X～②P（ax＜b）=（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数（1）离散型若且g（x1）,g（x2）,…g（xn）不相同时，有*（2）连续型若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变量X的函数Y=g（x）的概率密度为当α=－∞β=+∞时，则有简单情形，若Y＝ax+b则有Y～fY（y）=在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。（3）重要结论（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时Y～N（aμ+b,a2σ2）（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝叫X的标准化随机变量。第三章多维随机变量及概率分布（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+∞）Y～FY（Y）=F（+∞,Y）（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律性质（2）X的边缘分布证明P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，…pm·=pm1+pm2+…pmn（3）Y的分布律证P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，…P·N=P1N+P2N+…+pmn（4）X，Y独立的充要条件是：X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。（5）会求Z=X+Y的分布律（三）二维连续型随机变量（1）若已知f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）性质（2）已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）（3）会用公式求（X，Y）在区域D上取值的概率。（4）会用公式分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量①（X，Y）在D上服从均匀分布S是D的面积则X，Y独立（7）若X，Y独立，且第四章随机变量的数字特征本章的考核内容是（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。（1）离散型：（2）连续型：（3）（4）期望的性质：（1）EC=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质∴X是离散型随机变量时X是连续型随机变量时（2）计算公式（3）性质①DC＝0②③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]=DX+DY±2Cov(X,Y)∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DYCov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)相关系数定理X，Y独立X，Y不相关（）第五章大数定律及中心极限定理（一）知道切比雪夫不等式或并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|ε的概率。（二）知道贝努利大数定律其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。（三）知道切比雪夫不等式大数定律它说明在大量试验中，随机变量取值稳定在期望附近。（四）知道独立同分布中心极限定理若记Yn～Fn（x），则有它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即Zn～B（n,p）,则有即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。第六章统计量及其抽样分布本章的基本要求是（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念（二）知道统计量和s2的下列性质。E（s2）=σ2（三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x2,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中X（1）的分布函数为1-（1-F（x））nX（n）的分布函数为[F（x）]n（四）掌握正态总体的抽样分布若X～N（μ，σ2）则有（1）（2）（3）（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念第七章参数估计（一）点估计（1）知道点估计的概念（2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是（3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn）然后由lnL（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值时的值为的值，即。是L的最大值点。（二）点估计量的评价标准（1）若，则是的无偏估计。（2）若都是的无偏估计，且就说有效。（3）若。就说是的相合估计以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计（三）区间估计（1）知道区间估计的概念（2）会求一个正态总体的参数的置信区间。公式见表7-1第八章假设检验（一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。（二）知道两类错误（三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。P166表8.3