文数二轮复习题三三角函数三角恒等变换与解三角形-数学(文科)-全国卷地区专用

第8讲三角函数的图像与性质第9讲三角恒等变换与解三角形专题三三角函数、三角恒等变换与解三角形第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦考点考向探究第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦1．[2013·广东卷改编]已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝________．[答案]15[解析]sin(52π＋α)＝sin(π2＋α)＝cosα＝15.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦2．[2015·福建卷改编]若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于________．[答案]－512[解析]由sinα＝－513，且α为第四象限角，则cosα＝1－sin2α＝1213，则tanα＝sinαcosα＝－512.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦3．[2015·山东卷改编]要得到函数y＝sin4x－π3的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向________平移________个单位．[答案]右π12[解析]设将函数y＝sin4x的图像向右平移φ个单位，得到函数y＝sin4(x－φ)＝sin(4x－4φ)＝sin4x－π3的图像，故φ＝π12.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦4．[2015·四川卷改编]函数y＝cos(2x＋π2)为________函数(填“奇”或“偶”)．[答案]奇[解析]因为y＝cos(2x＋π2)＝－sin2x，所以该函数为奇函数．第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦5．[2015·浙江卷改编]函数f(x)＝22sin(2x－π4)＋32的最小正周期是____________，最小值是________．[答案]π3－22[解析]易得f(x)的最小正周期是π，最小值是3－22.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦6．[2015·湖北卷改编]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πx①π3②5π6④Asin(ωx＋φ)05③－50据表中部分数据可知函数f(x)的解析式为________，①②③④处分别填________．第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦[答案]f(x)＝5sin(2x－π6)π127π1201312π[解析]根据表中已知数据解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，所以函数解析式为f(x)＝5sin(2x－π6)，所以①②③④处分别填π12，7π12，0，1312π.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦7．[2014·四川卷改编]函数f(x)＝sin(3x＋π4)的单调递增区间为____________．[答案][－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3]，k∈Z[解析]因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3]，k∈Z.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦8．[2015·陕西卷]如图8­1所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(π6x＋φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．图8­1[答案]8[解析]据图可知，－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8.第8讲三角函数的图像与性质——基础知识必备——返回目录返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点一三角函数的概念、诱导公式及基本关系题型：选择、填空分值：5分难度：基础热点：求值考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究例1(1)若点P在角α的终边上，且α＝－10π3，P的坐标为(－1，y)，则y等于________．(2)[2015·四川卷]已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是____________．返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案](1)3(2)－1考点考向探究[解析](1)由三角函数的定义，得sin(－10π3)＝y（－1）2＋y2，又sin(－10π3)＝sin(－4π＋2π3)＝sin2π3＝32，所以α为第二象限角，所以由y（－1）2＋y2＝32，得y＝3.(2)由已知可得tanα＝－2，所以2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.返回目录第8讲三角函数的图像与性质[小结](1)三角函数是借助角的终边上任一点的坐标来定义的，三角函数的定义是求三角函数值、化简、计算的基础；(2)式中是含sinx，cosx的齐次结构，则可直接转化为tanx来求，如例1(2)；(3)解决三角函数的问题时常使用常数代换法，如：把“1”代换为“sin2α＋cos2α”．考点考向探究返回目录考点考向探究变式题(1)已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为()A.12B．—12C.32D．—32(2)若sinα＝－45，则tanαcos3α1－sinα的值为()A．－425B.3625C．－3625D.425第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究[答案](1)C(2)A第8讲三角函数的图像与性质[解析](1)3π4－α＝π－(π4＋α)，∴sin(34π－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.(2)因为sinα＝－45，所以tanαcos3α1－sinα＝sinαcos2α1－sinα＝sinα（1－sin2α）1－sinα＝sinα(1＋sinα)＝－425.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与解析式题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：图像与解析式考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质例2(1)为了得到函数y＝2sin3x的图像，可以将函数y＝sin3x＋cos3x的图像()A．向右平移π12个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向左平移π4个单位长度考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图像如图8­2所示，则f(x)的解析式可以为()图8­2A．f(x)＝3sin(2x－π4)B．f(x)＝3sin(2x＋π4)C．f(x)＝3sin(12x－3π4)D．f(x)＝3sin(12x＋3π4)考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案](1)A(2)D考点考向探究[解析](1)y＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋π4)＝2sin[3(x＋π12)]，则将y＝sin3x＋cos3x的图像向右平移π12个单位长度，可得到函数y＝2sin3x的图像，故选A.(2)由图像，得A＝3，最小正周期T＝2×(3π2＋π2)＝4π，则ω＝2π4π＝12.又函数f(x)的图像过点(π2，0)，所以sin(π4＋φ)＝0，则φ＝－π4＋kπ(k∈Z)，故选D.返回目录第8讲三角函数的图像与性质[小结]根据三角函数图像求函数的解析式，主要考虑两点：一是根据函数图像得出函数的最小正周期，从而求出ω的值；二是根据函数图像上特殊点(一般是“五点法”作图中的某个点)的坐标，得出三角函数的方程，从而求出φ的值．考点考向探究返回目录考点考向探究变式题图8­3是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的图像，M，N分别是最大值点和最小值点，且OM→⊥ON→，则A·ω的值为()图8­3A.π6B.2π6C.7π6D.7π12第8讲三角函数的图像与性质返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案]C考点考向探究[解析]56π－π12＝34π，所以函数的最小正周期为π，得ω＝2，所以M(π12，A)，N(712π，－A)．由OM→⊥ON→，得π12×712π－A2＝0，得A＝7π12，于是A·ω＝76π.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点三三角函数的性质题型：选择、填空、解答分值：5～10分难度：中等热点：单调性、周期性与最值考点考向探究返回目录考点考向探究例3(1)已知函数f(x)＝sin(x＋π2)，g(x)＝cos(x－π2)，则下列结论中正确的是()A．函数y＝f(x)·g(x)的最小正周期为2πB．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1C．函数y＝f(x)·g(x)的一个单调递增区间为(－π4，π4)D．f(x)与g(x)的奇偶性相同第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤π3)的最小正周期是π，若其图像向右平移π3个单位长度后得到的图像对应的函数为奇函数，则函数f(x)的图像()A．关于点(π12，0)对称B．关于点(5π12，0)对称C．关于直线x＝5π12对称D．关于直线x＝π12对称第8讲三角函数的图像与性质返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案](1)C(2)C考点考向探究[解析](1)∵f(x)＝sin(x＋π2)，g(x)＝cos(x－π2)，∴f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，∴f(x)g(x)＝sinxcosx＝12sin2x，∴最小正周期T＝2π2＝π，排除A；[f(x)g(x)]max＝12，排除B；f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，排除D.故选C.返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究(2)由f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤π3)的最小正周期是π，得ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)，∴f(x)的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y＝sin[2(x－π3)＋φ]＝sin(2x＋φ－2π3)的图像，∴φ－2π3＝kπ，k∈Z，得φ＝2π3＋kπ，k∈Z.∵|φ|≤π3，∴φ＝－π3，即f(x)＝sin(2x－π3)．由2x－π3＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝5π12＋kπ2，k∈Z，故选C.返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究[小结]三角函数的性质主要包括单调性、周期性、奇偶性和最值，解决此类问题要注意以下两点：一是考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，一般利用y＝sinx的性质，即把ωx＋φ看成一个整体，但是一定要ω0，否则易出错；二是一定要结合图像进行分析．返回目录考点考向探究变试题(1)将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图像，则下列说法正确的是()A．g(x)的最大值为1，其图像关于直线x＝π2对称B．g(x)在(0，π4)上单调递增，且为奇函数C．g(x)在(－3π8，π8)上单调递增，且为偶函数D．g(x)的周期为π，其图像关于点(3π8，0)对称第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究(2)已知f(x)＝sin(2014x＋π6)＋cos(2014x－π3)的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为()A.π1007B.π2014C.2π1007D.2π1007第8讲三角函数的图像与性质[答案](1)A(2)A返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究[解析](1)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)＝sin(2x－π2)＝－cos2x的图像，逐个分析选项可知A正确．(2)f(x)＝sin(2014x＋π6)＋cos(2014x－π3)＝2sin(2014x＋π6)，所以A＝2，最小正周期T＝π1007.而|x1－x2|的最小值为半个周期，所以A|x1－x2|的最小值为π1007.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点四三角函数图像与性质的综合应用题型：选择、填空、解答分值：5～10分难度：中等热点：图像与性质的综合考点考向探究