.直角三角形的边角关系

1直角三角形的边角关系适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域北师大版本课时时长（分钟）120分钟知识点锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形及应用教学目标复习和巩固三角函数的关系，联系勾股定理教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦、正切和余切的意义，并能举例说明；2.能用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形两边的比；3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学过程一、复习预习复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是0.618，台风问题等等二、知识讲解1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：；（2）角的关系：=∠C=900；（3）边角关系：①：00901230CBCABA2②：锐角三角函数：∠A的=AasinA=c∠的对边，即斜边；∠A的=AbcosA=c∠的邻边，即斜边,∠A的=Aatan=Ab∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.三角函数的大小比较(1)同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而，随角的减小而．②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而，随角的减小而。(2)异名三角函数的大小比较①tanA＞SinA，由定义知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA②cotA＞cosA．由定义知cosA=，cotA=；因为a＜c，所以cotA＞cosA．③若0○＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题1、实际问题中有关名词、术语的意义：①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做.如图1.②坡角与坡度：坡面与的夹角叫做坡角，图2中的α是坡角；坡面的垂直高度h和的比叫做坡度.即坡度tanlhi3三、例题精析【例1】等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．（A）513（B）1213（C）1013（D）512课堂训练题在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC：CA：AB=5：12：13，则cosB=（）A.125B.512C.135D.1312【例2】已知1sin2A，且∠A为锐角，则∠A=（）A.30°B.45°C.60°D.75°课堂训练题cos30°=()A.12B.22C.32D.3【例3】王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）（A）350m（B）100m（C）150m（D）3100m【解题思路】作出如图所示的图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB＝100，所以BD＝50，cos30°＝ADAB，所以AD＝503，CD＝200－50＝150，在Rt△ADC中，AC＝22ADCD＝22(503)150＝1003.4课堂训练题在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70方向到达B地，然后再沿北偏西20方向走了500m到达目的地C,此时小霞在营地A的（）A.北偏东20方向上B.北偏东30方向上C.北偏东40方向上D.北偏西30方向上【例4】如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为()A．22B．4C．32D．42课堂训练题如图6-32，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD∶AC等于（）（A）2:3（B）3:3（C）1∶2（D）1:2【例5】如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=米．5课堂训练题如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），80AB米，则孔明从A到B上升的高度BC是米．【例6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.∵OA350033150030tan1500，OB=OC=1500，∴AB=635865150035001500(m).即隧道AB的长约为635m.6课堂训练题某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物CD的高度．【例7】如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin400.6428≈，cos400.7660≈，tan400.8391≈，31.732≈．解：过B点作BEAP，垂足为点E；过C点分别作CDAP，CFBE，垂足分别为点DF，，则四边形CDEF为矩形．CDEFDECF，，30QBC，60CBF．2040ABBAD，，cos40200.766015.3AEAB≈≈；sin40200.642812.85612.9BEAB≈≈．1060BCCBF，，sin60100.8668.668.7CFBC≈≈；cos60100.55BFBC．12.957.9CDEFBEBF．8.7DECF≈，ACDBEFGCQBFAEDP北4030715.38.724.0ADDEAE≈．由勾股定理，得222224.07.9638.4125ACADCD≈≈．即此时小船距港口A约25海里.课堂训练题如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30，在M的南偏东60方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75.已知400MB米，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？M北东BAN【例8】如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问B处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7）【参考答案】解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D.依题意得：∠BAC=30°，Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B处会受到台风的影响.（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F（如图），由勾股定理可求得：DE=120，AD=1603，8AE=AD－DE=1603－120，∵40120－3160=3.8（小时）∴该船应在3.8小时内卸完货物.课堂训练题如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得该岛在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.（1）试说明B点是否在暗礁区域外；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.课后自我检测A类题（10道题）91.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若43tanA，则sinA＝（）A.34B.43C.35D.532.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则tan2A＝.3.计算3cos60cot303的值是（）A.27B.65C.23D.2234.在Rt△ABC中，∠C＝90°，31tanA，AC＝6，则BC的长为（）A.6B.5C.4D.25.△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且0)3sin2(3tan2AB，试确定△ABC的形状.6.已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝60°，则PO∶AO＝.7.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是32，则ABAC的值是（）A.52B.53C.25D.328.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝52，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长.109.某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度i＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB.10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝30°，求河宽CD（结果可带根号）.B类题（10道题）1.某人沿倾斜角为的斜坡前进100米，则他上升的高度为（）11A.sin100米B.sin100米C.cos100米D.cos100米2.若3tan(10)1，则锐角的度数是（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.已知cos＜0.5，那么锐角的取值范围是（）A.60°＜＜90°B.0°＜＜60°C.30°＜＜90°D.0°＜＜30°4.△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则CBCD等于（）A.cosBB.tanAC.cosAD.sinA5.已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝352，AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，试求AB的长.6.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B，那么BB（）A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.不能确定7.如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BAD＝75°，∠D＝60°，求CD的长.128.如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）.（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）9.如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为30，45，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）10.一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶13鱼群，是否有进入危险区域的可能？C类题（10道题）1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（）A.cosA＝cosBB.cosA＝sinBC.sinA＝cosBD.2cos2sinBAC2.已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为.3.如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A.sin1B.cos1C.sinD.14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足022baba，则tanA等于（）A.1B.251C.251D.2515.如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则tan∠CFB＝（）A.361B.321C.334D.3416.已知mcossin，ncos