.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

个人收集整理仅供参考学习1/716.3点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲要求】1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能由给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系；3.会求两圆相交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程.【命题规律】直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，题型为填空题，通常考查圆的切线方程、直线与圆相交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的位置关系通常考查公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。个人收集整理勿做商业用途【知识回顾】一、点与圆的位置关系1.已知圆222()()xaybr，圆心为(,)Cab，那么点00(,)Pxy与圆的位置关系有：（1）点P在圆上22200()()||xaybrPCr（2）点P在圆内22200()()||xaybrPCr（3）点P在圆外22200()()||xaybrPCr2.圆外一点P到圆上任一点的最大距离为||PCr，最小距离为||PCr.二、直线与圆的位置关系1.位置关系：相离、相切、相交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。2.判断方法：（1）代数法：240()00yxbacxy消去（或）相交直线与圆有2个公共点直线的方程得到关于或的一元二次方程相切直线与圆有1个公共点圆的方程相离直线与圆有0个公共点这种由判别式来判断位置关系的方法，即代数法，是解析几何中研究两条曲线交点问题的通法，也是一种基本方法，具有一般性，但运算量比较大，一般不用此法。个人收集整理勿做商业用途（2）几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断，即drdrdr直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离三、圆与圆的位置关系1.位置关系：外离、外切、相交、内切、内含2.判断方法：判断两圆的位置关系，利用圆心距和两圆半径的大小关系来判断设22222211112222:()(),:()()OxaybrOxaybr，则圆心距为22121212||()()dOOaabb，个人收集整理仅供参考学习2/7则1212121212124321||||||drrdrrrrdrrdrrdrr外离条公切线外切条公切线相交条公切线内切条公切线内含无公切线四、直线与圆相切——“切线”问题1.求过圆上的一点00(,)Pxy的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为1k，由点斜式方程可求切线方程，若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程0xx.个人收集整理勿做商业用途2.求过圆外一点00(,)Pxy的圆的切线方程（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为00:()lyykxx，即000kxyykx.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.（2）代数方法：设切线方程为00:()lyykxx，即000kxyykx，代入圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.（3）从圆外一点引圆的切线一定有两条，如果求出的切线斜率只有一个，则另一条切线一定垂直于x轴.五、直线与圆相交——“弦长”问题、“圆系”问题1.直线被圆截得的弦长（1）几何方法：由半径r，弦心距d，及半弦长构成的直角三角形，利用勾股定理得弦长为22||2ABrd（2）代数方法：利用弦长公式设直线ykxm与圆222()()xaybr相交于(,),(,)ABABAxyBxy两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于x的方程，求出,ABABxxxx，则222||1||1()4ABABABABkxxkxxxx,或21||1||ABAByyk2.弦中点求法：（1）由直线与圆方程联立消元得到关于xy或的一元二次方程，由唯达定理得12122xxbxxxa中（2）由弦所在方程和过圆心且垂直于弦的直线方程组成的方程组求得交点坐标（即中点）。3.直线与圆相交时，过两圆交点的圆系方程为22()0xyDxEyFAxByC.六、直线与圆相交、相切、相离时的结论及方法ABO个人收集整理仅供参考学习3/71.过圆222xyr上一点00(,)Pxy的切线方程：200xxyyr证明：方法一：00opykx，00lxky0000()xyyxxy，即220000yyyxxx，即220000xxyyxy又00(,)Pxy在圆上，22200xyr200xxyyr方法二：设00:()lyykxx，即000kxyykx圆心到l的距离002||1ykxdrk，22200()(1)ykxrk即222000020ykxyx即200()0ykx，00xky，0000()xyyxxy即200xxyyr2.过圆222()()xaybr上一点00(,)Pxy的切线方程为200()()()()xaxaybybr3.过圆220xyDxEyF上一点00(,)Pxy的切线方程为0000022xxyyxxyyDEF证明：圆心为(,)22DE，00002222opEyyEkDxDx，0022lxDkyE切线方程为00002()2xDyyxxyE即0000()(2)(2)()0yyyExDxx00(,)Pxy在圆上2200000xyDxEyF000022()()20xxyyDxxEyyF即0000022xxyyxxyyDEF4.从圆外一点00(,)Pxy引圆220xyDxEyF的两条切线，切线长220000dxyDxEyF.证明：圆心为(,)22DE，PMPN5.从圆外一点00(,)Pxy引圆222()()xaybr的两条切线，切线长22200()()dxaybr6.从圆外一点00(,)Pxy引圆222xyr的两条切线，则切点弦所在直线方程为200xxyyr证明：方法一：设,MN坐标分别为1122(,),(,)MxyNxy,MN在已知圆222xyr上，过,MN的切线方程分别为211xxyyr，222xxyyr又00(,)Pxy为两切线公共点，20101xxyyr，20202xxyyr上式表明点1122(,),(,)MxyNxy都满足二元一次方程200xxyyr.直线MN方程为200xxyyr方法二：设以OP为直径的圆的方程，其圆心为00(,)22xy，半径2221()24oprop222200001()()()224xyxyxy即22000xyxxyy又222xyr，200xxyyr7.若点00(,)Pxy是圆222xyr外一点，则直线200xxyyr与该圆的位置关系是相交.若点00(,)Pxy是圆222xyr上一点，则直线200xxyyr与该圆的位置关系是相切.若点00(,)Pxy是圆222xyr内一点，则直线200xxyyr与该圆的位置关系是相离.个人收集整理仅供参考学习4/7证明：00(,)Pxy在圆外，222200||OPxyr，又点(0,0)O到:l200xxyyr的距离222200rrdrrxy直线200xxyyr与圆222xyr相交。8.过圆C内一点A的直线l与圆交于一条弦MN，其中：当l过圆心时弦长最大，即直径；当l不过圆心但垂直于AC时，弦长最小，且MN是以A为中点，且C到l的距离最大。个人收集整理勿做商业用途9.当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr（其中d为圆心到直线的距离）七、两圆相交——“相交弦直线方程”“过两圆交点的圆系方程”1.设圆221111:0CxyDxEyF和圆222222:0CxyDxEyF相交，过两圆交点的交点弦方程为：2222111222()()xyDxEyFxyDxEyF=121212()()()0DDxEEyFF注：221111222222:0:0CxyDxEyFCxyDxEyF①②由①-②得121212()()()0DDxEEyFF……③①当两圆是同心圆时，此直线不存在②当两圆相交时，方程③为公共弦（即相交弦）所在直线；（两圆相交弦的中垂线为连心线，但是连心线段的中垂线不一定是相交弦所在直线，除非两圆是等圆）个人收集整理勿做商业用途③当两圆外切时，方程③为两圆内公切线所在直线；④当两圆内切时，方程③为两圆公切线所在直线；⑤当两圆相离时，方程③为与两圆连心线垂直的直线；⑥当两圆半径相等时，方程③为两圆的对称轴.2.过两圆交点的圆系方程：设圆221111:0CxyDxEyF和圆222222:0CxyDxEyF相交，过交点的圆系方程为：2222111222()0(1)xyDxEyFxyDxEyF.当1时，方程变为121212()()()0DDxEEyFF，它表示过两圆交点的直线.【典例分析】例1.已知圆22262(1)102240()xymxmymmmR，求证：不论m为何值，圆心在同一直线上。解:（1）证明：配方得22(3)[(1)]25xmym设圆心为(,)xy，则33301mxmxyym消去则不论m为何值，圆心恒在直线:330lxy上.例2.若过点A(4,0)的直线l与圆22(2)1xy有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解：因为点A(4,0)在圆外，所以斜率必存在.设经过该点的直线方程为40kxyk，个人收集整理仅供参考学习5/7所以有2|204|11kkk,解得3333k例3.已知两圆222610xyxy和2210120xyxym.求:（1）m取何值时，两圆外切？（2）m取何值时，两圆内切？解:将两圆分别化为标准方程圆2211):((3)11Cxy,圆222:(5)(6)61Cxym.两圆圆心距2212(51)(63)5CC，1211,61rrm(1)当1212CCrr,即11615m,即251011m时,两圆相切.(2)当1212||CCrr,即11615m,即251011251011mm或时,由(1)知251011m两圆外切,故251011m时,两圆内切.例4.已知点(0,5)P及圆22:412240Cxyxy.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.分析:（1）可以用代数法——将直线l的斜率k设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代入圆C的方程，然后运用弦长公式2121||dkxx来解决；也可以用几何法——设出直线l方程：5ykx,首先注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决.个人收集整理勿做商业用途（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解.解:(1)方法一：如图所示，43AB,D是AB中点，,23,4CDABADAC,在Rt△ACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为5ykx,即50kxy,由点C到直线AB的距离公式:22|265|324(1)kkk