南京市、盐城市2015届高三二模数学试题

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试---数学一、填空题1、函数xxxfcossin)(的最小正周期为。2、已知复数)31)(2(iiz，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限。3、右图是一个算法流程图，如果输入x的值是41，则输出S的值是。4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其中频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区[100，104]上的产品件数是。若红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是。6、如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BDBABE（R,），则7、已知平面α，β，直线nm,，给出下列命题：①若//m，//,nmn，则，②若//，//,//mn，则||mn，③若,,mnmn，则，④若，,mn，则mn.其中是真命题的是。（填写所有真命题的序号）。8、如图，在ABC中，D是BC上的一点。已知060B，2,10,2ADACDC，则AB=。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：24xy的焦点为F，定点)0,22(A，若射线FA与BDACOE第6题图BACD第8题图抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN=。10、记等差数列na的前n项和为nS，已知12a，且数列nS也为等差数列，则13a=。11、已知知函数1()||1xfxx，xR，则不等式2(2)(34)fxxfx的解集是。12、在平面直角坐标系xoy中，已知⊙Ｃ：22(1)5xy，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为。13、已知,均为锐角，且sincos()sin，则tan的最大值是。14、已知函数22,0()(1)1,0xxxfxfxx，当]100,0[x时，关于x的方程1()5fxx的所有解的和为。二、解答题15、在ABC中，角A、B、C的对边分别为,,abc.已知3cos5C.(1)若92CBCA,求ABC的面积；(2)设向量(2sin,3)2Bx，(cos,cos)2ByB，且xy，求sin()BA的值。16、如图，在四棱锥P—ABCD中，12ADCDAB，||ABDC，ADCD，PCABCD平面.（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。(第16题图)PABCDM17．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。过O作ABOP，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知5.6,10MPOP（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：2m）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设()POFrad，将S表示成的函数；(ii)设()MNxm，将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？18、如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为22，直线l：12yx与椭圆E相交于A，B两点，25AB，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求,ab的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。PBNACDGOFEHM第17题图xyAOBCDMN(第18题图)19、已知函数(2)()1lnkxfxxx，其中k为常数.(1)若0k,求曲线()yfx在点))1(,1(f处的切线方程.(2)若5k,求证：()fx有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当2x时，()0fx恒成立，求k的最大值。20．给定一个数列na，在这个数列中，任取m(3,)mmN项，并且不改变它们在数列na中的先后次序，得到的数列na的一个m阶子数列。已知数列na的通项公式为1nana(,)nNa为常数，等差数列2a，3a，6a是数列na的一个3子阶数列。（1）求a的值；（2）等差数列12,,,mbbb是na的一个m(3,)mmN阶子数列，且11bk(,,2)kkNk为常数，求证：1mk（3）等比数列12,,,mccc是na的一个m(3,)mmN阶子数列，求证：111122mmcccBADECF（第21A题图）南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学附加题21、选做题A，选修4-1；几何证明选讲如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF||BCB．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵aA203，A的逆矩阵10311bA（1）求a,b的值；（2）求A的特征值。C．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：2xsys）s为参数(，直线l：1210()3410xttyt为参数.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。D．选修4-5：不行等式选讲已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥822、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是21外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是32.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。23、（本小题满分10分）已知,mnN，定义(1)(2)(1)()!nnnnnmfmm（1）记6()mafm，求1212aaa的值；（2）记(1)()mmnbmfm，求12nbbb所有可能值的集合。南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．2．一3．－24．555．786．347．③④8．2639．1310．5011．(1，2)12．213．2414．1000015．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝35．（1）若CBCA＝92，求△ABC的面积；（2）设向量x＝(2sinB2，3)，y＝(cosB，cosB2)，且x∥y，求sin(B－A)的值．解：（1）由CB→·CA→＝92，得abcosC＝92．又因为cosC＝35，所以ab＝92cosC＝152．…………………2分又C为△ABC的内角，所以sinC＝45．…………………4分所以△ABC的面积S＝12absinC＝3．…………………6分（2）因为x//y，所以2sinB2cosB2＝3cosB，即sinB＝3cosB．………………8分因为cosB≠0，所以tanB＝3．因为B为三角形的内角，所以B＝π3．…………………10分所以A＋C＝2π3，所以A＝2π3－C．所以sin(B－A)＝sin(π3－A)＝sin(C－π3)＝12sinC－32cosC＝12×45－32×35＝4－3310．……………………14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AD＝CD＝12AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．因为AD＝CD＝12AB，所以CD＝1，AB＝2．因为ADC＝90，所以AC＝2，CAB＝45．在△ABC中，由余弦定理得BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2．所以BCAC．……………………3分因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC．……………………5分因为PC平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC平面PAC．……………………7分（2）如图，因为AB∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDMN，所以AB∥平面CDMN．……………………9分因为AB平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN．……………………12分在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为12．……………………14分17．（本小题满分14分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上)．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．（1）按下列要求建立函数关系式：(i)设∠POF＝θ(rad)，将S表示成θ的函数；(ii)设MN＝x(m)，将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，(第16题图)PABCDMN(第16题图)PABCDMEBGANDMCFOHP(第17题图)故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝720．…………4分(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．在Rt△ONF中，NF＝OF2－ON2＝100－(x＋3.5)2＝3514－7x－x2．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝351－28x－4x2，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x351－28x－4x2．即所求函数关系是S＝x351－28x－4x2，0＜x＜6.5．…………8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，则f′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分由f′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝45，或cosθ＝－58．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝45．设cosα＝45，且α为锐角，则当θ∈(0，α)时，f′(θ)＞0，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f′(θ)＜0，f(θ)是减函数，所以当θ＝α，即cosθ＝45时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为S＝x2(351－28x－4x2)，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，则f′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．………10分因为当0＜x＜92时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当92＜x＜132时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝92时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，直线l：y＝12x与