江苏省南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(WORD版)

第1页共8页南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷高二数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是▲．2．已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则|z|为▲．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是▲．4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的▲条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．已知实数x，y满足条件x≥0，y≥1，2x＋y－5≤0，则z＝3x＋y的最大值是▲．6．函数f(x)＝xex的单调减区间是▲．7．如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x)相切于点(a，3)．若f′(a)＝23，则实数a的值是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－a)2＋(y－a)2＝2与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为▲．9．如图，在三棱锥P—ABC中，M是侧棱PC的中点，且BM→＝xAB→＋yAC→＋zAP→，则x＋y＋z的值为▲．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x23－y2＝1的渐近线与抛物线x2＝43y的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线3x＋y－2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为▲．12．若函数f(x)＝x3－3x2＋mx在区间(0，3)内有极值，则实数m的取值范围是▲．13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1xyOa31y＝f(x)l（第7题图）（第9题图）ABCPM第2页共8页且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若AF2→＝2F2C→，则该椭圆的离心率为▲．14．已知函数f(x)＝x|x2－3|．若存在实数m，m∈(0，5]，使得当x∈[0，m]时，f(x)的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知复数z＝2＋4mi1－i，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设—z是z的共轭复数，复数—z＋2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角A—BD—G的大小为θ，求|cosθ|的值．17．（本题满分14分）如图，圆锥OO1的体积为6π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？BB1（第16题图）ADCA1C1D1EFGOO1（第17题图）第3页共8页18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3)，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为x＝433，离心率为32．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f(x)＝12ax2－1－lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点(0，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f′(x1)＋f′(x2)＜0．ONMAl1xl2yQ（第19题图）第4页共8页南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷高二数学（理科）参考答案2018．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．“若b≠0，则ab≠0”2．223．(1，0)4．充分不必要5．76．(－∞，－1)或(－∞，－1]7．38．39．010．3311．312．(－9，3)13．5514．[1，3)二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（本题满分14分）解（1）z＝2＋4mi1－i＝(2＋4mi)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－2m＋(2m＋1)i．……………………3分因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，解得m＝12．……………………6分（2）因为—z是z的共轭复数，所以—z＝1－2m－(2m＋1)i．……………………8分所以—z＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]＝3－6m＋(2m＋1)i．……………………10分因为复数—z＋2z在复平面上对应的点在第一象限，所以3－6m＞0，2m＋1＞0，……………………12分解得－12＜m＜12，即实数m的取值范围为(－12，12)．……………………14分16．（本题满分14分）解如图，以{DA→，DC→，DD1→}为正交基底建立坐标系D—xyz．设正方体的边长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(2，1，2)，G(1，2，2)．（1）因为EF→＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，DG→＝(1，2，2)，……………………2分BB1（第16题图）ADCA1C1D1EFGyxz第5页共8页所以EF→·DG→＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，|EF→|＝1＋(－1)2＋22＝6，|DG→|＝3．……………………4分从而cos＜EF→，DG→＞＝EF→·DG→|EF→||DG→|＝36×3＝66，即向量EF→与DG→的夹角的余弦为66，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为66．……………………7分（2）DB→＝(2，2，0)，DG→＝(1，2，2)．设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z)．由题意，得DB→·n1＝2x＋2y＝0，DG→·n1＝x＋2y＋2z＝0，取x＝2，可得y＝－2，z＝1．所以n1＝(2，－2，1)．……………………11分又平面ABD的一个法向量n2＝DD1→＝(0，0，2)，所以cos＜n1，n2＞＝n1·n2|n1||n2|＝23×2＝13．因此|cosθ|＝13．……………………14分17．（本题满分14分）解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．因为圆锥的体积为6π，即13πx2h＝6π，所以h＝36x2．……………………2分因此l＝x2＋h2＝x2＋(36x2)2，从而S＝πxl＝πxx2＋(36x2)2＝πx4＋54x2，(x＞0)．……………………6分（2）令f(x)＝x4＋54x2，则f′(x)＝4x3－108x3，(x＞0)．……………………8分由f′(x)＝0，解得x＝3．……………………10分当0＜x＜3时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，3)上单调递减；当x＞3时，f′(x)＞0，即函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增．第6页共8页……………………12分所以当x＝3时，f(x)取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小．………………………14分18．（本题满分16分）解（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－D2，－E2)．因为圆C经过点A(1，3)，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，所以1＋9＋D＋3E＋F＝0，16＋4＋4D＋2E＋F＝0，－D2＋E2－1＝0，……………………4分解得D＝－4，E＝－2，F＝0．所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．……………………7分（2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝PC2－5×5．所以当PC最小时，S最小．……………………10分因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．因为点P∈M，且圆M的半径为1，所以PCmin＝6－1＝5．所以Smin＝52－5×5＝10．……………………14分此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)．……………………16分19．（本题满分16分）解（1）设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的半焦距为c．由题意，得a2c＝433，ca＝32，解得a＝2，c＝3，从而b＝1．所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．……………………4分（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)(x0≠0，y0≠0)，第7页共8页从而k1k2＝y0－1x0·－y0－1x0＝1－y02x02．……………………7分因为点M在椭圆C上，所以x024＋y02＝1，所以1－y02＝x024，所以k1k2＝1－y02x02＝14．……………………10分②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)．因为l1⊥AM，所以y0－1x0·y1－y0x1－x0＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0(x1－x0)；因为l2⊥AN，所以－y0－1x0·y1＋y0x1－x0＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0(x1－x0)，故(y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，化得(y1＋1)y0＝0．……………………14分从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．即点Q在一条定直线y＝－1上．……………………16分20．（本题满分16分）解（1）当a＝0时，f(x)＝－1－lnx，f′(x)＝－1x．设切点为T(x0，－1－lnx0)，则切线方程为：y＋1＋lnx0＝－1x0(x－x0)．……………………2分因为切线过点(0，－1)，所以－1＋1＋lnx0＝－1x0(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝－1ex－1．……………………4分（2）①f′(x)＝ax－1x＝ax2－1x，x＞0．(i)若a≤0，则f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而函数f(x)在(0，＋∞)上至多有1个零点，不合题意．……………………5分(ii)若a＞0，由f′(x)＝0，解得x＝1a．当0＜x＜1a时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞1a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1a)＝12－ln1a－1＝－12－ln1a．要使函数f(x)有两个零点，首先－12－ln1a＜0，解得0＜a＜e．……………7分当0＜a＜e时，1a＞1e＞1e．第8页共8页因为f(1e)＝a2e2＞0，故f(1e)·f(1a)＜0．又函数f(x)在(0，1a)上单调递减，且其图像在(0，1a)上不间断，所以函数f(x)在区间(0，1a)内恰有1个零点．……………………9分考察函数g(x)＝x－1－lnx，则g′(x)＝1－1x＝x－1x．当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，故f(2a)＝2a－1－ln2a≥0．因为2a－1a＝2－aa＞0，故2a＞1a．因为f(1a)·f(2a)≤0，且f(x)在(1a，＋∞)上单调递增，其图像在(1a，＋∞)上不间断，所以函数f(x)在区间(1a，2a]上恰有1个零点，即在(1a，＋∞)上恰有1