相似三角形的判定和性质讲义(丁鹏程)

上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处1泽仕学堂学科教师辅导讲义学员姓名：丁鹏程辅导科目：数学年级：初二学科教师：张先安授课日期及时段7月22日课题相似三角形判定与性质重点、难点、考点相似三角形的性质及判定方法。学习目标掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。教学内容一、归纳导入(呈现知识)1、相似三角形的概念（1）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。（2）相似三角形对应角相等，对应边成比例。（3）相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。（4）全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例。（5）相似三角形的等价关系①反身性：对于任一ABC有ABC∽ABC。②对称性：若ABC∽'''CBA，则'''CBA∽ABC。③传递性：若ABC∽CBA''，且CBA''∽CBA，则ABC∽CBA。2、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处2如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC，（3）（AC）2=CD·BC。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。3、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(3)相似三角形周长的比等于相似比。(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。二、新课（共同探究）例1、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似。（）（2）所有的等腰三角形都相似。（）（3）所有的等腰直角三角形都相似。（）（4）所有的等边三角形都相似。（）（5）所有的全等三角形都相似。（）例2、如果两相似三角形的对应边的比为4∶5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是多少？例3、已知ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的CBA的最大边长为26，求CBA的面积S。例4、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB，然后再选点E，使BCEC，确定BC与AE的交点为D，测得120BD米，60DC米，50EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处3例5、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD,E、F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M⑴求证：△EDM∽△FBM；⑵若DB=9，求BM。例6、已知：如图，在ABC中，BDAACAB,36,是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDCAD2。例7、如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，CD与BE相交于点F，ACDABE。（1）找出图中一定相似的三角形，并证明你所得到的结论；（2）如果AB=9，BC=8，AC=6，设BD=x，CE+DE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。例8、如图，已知△ABC的边AB＝32，AC＝2，BC边上的高AD＝3。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积。ABEDCMF第21题图FBCADE上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处4三、拓展练习1、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC=m，AC=n，则DM=（）A．nmmB．nmnC．nmmnD．mnnm2、下列四组图形中，不一定相似的是（）A.两直角边之比为1∶2的两个直角三角形；B.任意两个等边三角形；C.有一锐角相等的两个直角三角形；D.有一个角相等的两个等腰三角形.3、给出下列四个命题，其中真命题有（）（1）等腰三角形都是相似三角形（2）直角三角形都是相似三角形（3）等腰直角三角形都是相似三角形（4）等边三角形都是相似三角形A．1个B．2个Ｃ．3个Ｄ．4个4、如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确．．．的是()A．BF=21DFB．S△FAD=2S△FBEC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC5、已知ABC△，延长BC到D，使CDBC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．（1）求AEAC的值；（2）若ABaFBEC，，求AC的长．ABCDEFABFECD上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处56、E为正方形ABCD的边上的中点，AB=1，MN⊥DE交AB于M，交DC的延长线于N，求证：⑴EC2=DC·CN；⑵CN=41；⑶NE=45；7、如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由。Y7．NAQOPMXABCDEMN上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处6三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：五、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差主任签字：泽仕学堂教务处上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处7相似三角形判定与性质课后作业1、如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.2、如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.3、如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=35,则BM=______.4、ΔABC的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.5、两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.6、如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.7、如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.8、如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.9、如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.10、如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.11、如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.12、如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.13、如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.14、如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.上海中小学课外辅导专家泽仕学堂教务处8EAFDCB15、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.16、已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:AB·BC=AC·CD.17、已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350。求证：ΔEAC∽ΔCBF18、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.19．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP。求证:(1)CE2=AE·EB;(2)AE·EB=ED·EP20已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。