一元二次方程讲义

一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c．例1．求方程x2+3=2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x的方程（m+3）x2+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．例4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+的值．1．关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（）A．B．或C．D．2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（）Ａ．11Ｂ．11或13Ｃ．13Ｄ．11和133．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．（部分参考数据：，，）二、一元二次方程的一般解法基本方法有：（1）配方法；（2）公式法；（3）因式分解法。联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x2+8x+12=02、3x2-x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x2+1=2x3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac0一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（1+2）x++4=02、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1x2x1+x2=-x1x2=例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2,则（x1-1）（x2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．