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...全等三角形证明经典50题(含答案)1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+24AD6又AD是整数,则AD=52.已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:12CDAB3.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。ABCDEF21ADBCDABC...4.已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC证明:过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C证明:在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB,AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)∴∠AED=∠B,DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB=∠CEF=90°因为EB=EF,CE=CE,所以△CEB≌△CEF所以∠B=∠CFE因为∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°所以∠D=∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC=∠FAC又因为AC=AC所以△ADC≌△AFC(SAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.CDBABACDF21E...13.已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠CAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F14.已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADBC时,E点是射线BA,CD的交点,当ADBC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:△AED是等腰三角形。所以:AE=DE而AB=CD所以:BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以:△BEC是等腰三角形所以:角B=角C.15.P是∠BAC平分线AD上一点,ACAB,求证:PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为PCPB’+B‘C,PC-PB’B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PBAC-AB16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延长BE交AC于F因为,∠1=∠2,BE⊥AE所以,△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG∥BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=2DCBAFEABCDPDACBFAEDCB...18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.证明:做BE的延长线,与AP相交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B证明:在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC。DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠BPEDCBADCBA...22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.(1)求证:MB=MD,ME=MF(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.分析:通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.解答:解:(1)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF;(2)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF.23.(7分)已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,(1)求证:△AED≌△EBC.(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。由AE=BE,所以△AED≌△EBC。(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.证明:延长BA、CE,两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CEOEDCBAFEDCBA...25、(10分)如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。26、(10分)如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。求证:AM是△ABC的中线。证明:∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.27、(10分)如图:在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。求证:BD⊥AC。三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF证明:在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、(12分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.MFECBAFEDCBADCBAFDCBAFEDCBA...证:∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF中BE=CF(已知)∠B=∠C(已证)EM=FM(已证)∴△BME全等与△CMF(SAS)∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)∴E,M,F在同一直线上31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.证明:∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得:角ABC=角ADC在结合已知条件证得:△ADE≌△ABF得AE=AF33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:∠5=∠6.因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边,所以AAS==三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠634.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,
本文标题:全等三角形经典题型50题(含答案)
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