17.3勾股定理(冀教版)

直角三角形的性质：直角三角形的判定：1：直角三角形两锐角互余；2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；3：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半3：三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；1：有一个角内角等于90°的三角形是直角三角形。（定义）2：有两个角互余的三角形是直角三角形；复习回顾美丽的数学！相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ABCC图乙2.观察图乙，小方格的边长为1.⑴正方形A、B、C的面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？448ABCSA+SB=SC图甲图甲图乙A的面积B的面积C的面积（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度,（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（1）分别用a、b、c表示三角形三边，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）由SA+SB=SC可得出。即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方图1-1图1-2a²a²+b²=c²b²c²a²b²c²我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以称作勾股定理.图2称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.2002年在北京召开的国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.图2图117.3勾股定理(第一课时)a²+b²=c²bac学习目标：1.掌握勾股定理。2.了解勾股定理的验证方法，能写出验证过程，体会数形结合思想。3.运用勾股定理进行解直角三角形。勾股定理（毕达哥拉斯定理）如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。222cbaabc注意：不同三角形中字母可能不同，要看清那条是直角边，那条是斜边利用拼图来验证勾股定理：cab1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c正方形吗？拼一拼试试看?3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcab∵c2=4•ab/2+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c24•ab/2-(b-a)2验证1cabcabcabcab∵(a+b)2=c2+4•ab/2a2+2ab+b2=c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)2c2+4•ab/2验证2对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？ababababcababcccabccba两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？空白部分的面积呢？那剩余的验证3cabcab总统证法：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。验证4青出朱入朱出朱方青方青入青入青出青出青朱出入图朱入朱出验证5东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法验证6欧几里得证法勾股定理的证明证明方法2：拼三角形证明方法3：赵爽弦图，证明方法4：总统加菲尔德法证明方法1：数方格证明方法5：刘徽青朱出入图在直角三角形中，已知两边可以求第三边例1如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长。在Rt△ABC中,根据勾股定理222BCACAB解：B24AC76252472225AB如果将题目变为：在Rt△ABC中,AB=25,BC=24,求AC的长呢？2524例2已知等边三角形ABC的边长是6cm，(1)求高AD的长；(2)S△ABCABCD解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高在Rt△ABD中,根据勾股定理222BDABADcmAD3327936ADBCSABC21)2()(39336212cm321BCBD例3如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°∴BD=AD=421在Rt△ABD中,根据勾股定理484822222BDADAB在Rt△ABC中，CBCACBCAAB且,222242122222ABCACAAB62AC又AD=8ABCD30°8练习1.在△ABC中，∠C=90°.(1)若a=6，c=10，则b=;(2)若a=12，b=9，则c=;3.如图，在△ABC中，C=90°，CD为斜边AB上的高，你可以得出哪些与边有关的结论？CABDmnh(3)若c=25，b=15，则a=;2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。ba如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD11请欣赏美丽的勾股树LOGO看一看相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？