第三章布朗运动1

第二章Brown运动本章主要内容Brown运动的定义及性质Brown运动有关的随机过程Brown运动的仿真Brown运动的背景介绍1827年英国植物学家发现布朗运动1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述.相比之下数学上的描述比较慢，因为准确地数学描述这个模型非常困难.1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式此后该课题得到了巨大的发展,被一些列的物理学家完善布朗运动解释为随机游动的极限W(t)表示质点在时刻t的位置，则W(t)也表示质点直到t所作的位移，因此在时间(s,t)内，它所做的位移是W(t)-W(s),由于在时间(s,t)内质点受到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小的位移，故W(t)-W(s)是大量小位移的和，由中心极限定理它服从正态分布介质处于平衡状态，因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关，而与开始观察的时刻无关由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的位移也是独立的（Brownmotion）ＢＭ称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程,如果(1)(0)WxR-1211001()-(),(3)2,0=()-(),()-(),nnnWtWtWtntWtWtttWt是相互独立的随机变量(2)0,()()~(0,())WtWssNtst(0)0W的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道二.布朗运动的定义Wiener过程称实S.P.{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程,如果(1)(0)0W(2){(),0}Wtt是平稳的独立增量过程．2(3)0,()()~(0,())stWtWsNts一、直线上的随机游动设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t时间，等概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻t粒子的位置，则1[]()()ttXtxXX其中1,1,iX如果步长为△x的第i步向右如果步长为△x的第i步向左且Xi相互独立。布朗运动定义的来源1{1}{1}2iiPXPX因为0,()1iiEXVarX所以2[()]0,(())()[]EXtVarXtxtt当时，应有0t0x令xt则当时，有0t2[()]0,(())EXtVarXtt注：若当时，()xt12(())0,VarXt当时，12(()).VarXt一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限.三Brown运动的数字特征定理设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则2(1)0,()~(0,)tWtNt22(2)()0,(),0,(,)(,)min(,),,,0证明(1)由定义,显然成立.(2)由(1)易知有0,)(,0)(2tttDtmWW对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则)]()([E),(tWsWtsRW),min()])([E()]([)]([E0)]([E))]()())(0()([(E))]()()())(0()([(E22222tsssWsWDsWsWsWtWWsWsWsWtWWsW独立性),min((t))(),(),(2tsmsmtsRtsC例1．SBM是正态过程．证明设{W(t),t≥0}是参数为1的Wiener过程.则对任意的n≥1,以及任意的nttt210{W(t1),W(t2),…,W(tn)}是n维随机变量由Wiener过程的定义知)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW相互独立11()()(0())kkkkWtWtNtt服从，分布所以）（)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW是n维正态随机变量.又由于))()(,),()(),((1121nntWtWtWtWtW))(,),(),((21ntWtWtW100100110111所以))(,),(),((21ntWtWtW是n维正态变量.所以{W(t),t≥0}是正态过程.1,,nWtWt的联合密度函数为1211121211,,,()()()nnntttttnnfxxxfxfxxfxx其中2212xttfxet这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度函数为221212121()2()21212112()xxttWtWtttfxxettfxx由此可以看出服从n维正态分布。1,,nWtWt例2:求布朗运动W(t)的联合概率密度解：设W(t)是标准布朗运动，对任意的t1t2…tn，有22121221121211121211121212()21(()())(()())(()()())(()())12()yxxttPWtxWtxPWtxxxWtxPWtWtxxWtxPWtWtxxedyttW(t2)-W(t1)与W(t1)独立即112121()()(,)WtxWtNxtt210021021[]EWtWtxxVarWtWtxtt所以2112121[]EWtWtWtVarWtWttt12132111121321121112()121321()()()(),()11()(),,()()121321()()()()()()121,,,()()(,)(,,)()()()()()()(nnnnnnnWtWtWtWtWtWtnnWtWtWtWtnnWtWtWtWtWtWttttttnfxxxfxfxxfxxxfxxxfxfxxfxxfxxfxfxxfx1)nx例3：写出SBM的n维特征函数解：不是一般性，假设0120=ntttt定义增量-1=()-(),=1,2,,.kkkWtWtkn因此12,n是相互独立且-1~(0,-).kkkNtt由于=1()=,=1,,nkiiWtkn故121=111221111-122(,,;,,)=[exp(())]=[exp((+)][exp()]=exp(-(+))exp(-(-))nnnkkknnnnnnntttuuEjuWtEjuuEjuuututt分析：求12((),(),())nWtWtWt的特征函数四.Brown运动的性质1.对称性-W也是一个标准Brown运动2.自相似性：对任意的常数a0和固定的时间指标t0,有W(at)=a1/2W(t)3.时间可逆性B(t)=W(T)-W(T-t)则B={B(t),0≤t≤T}也是一个标准Brown运动对称性的证明：显然-W(0)=0(()())~(0,,)0()WtWtsNtss1002111-(()-()),(()-()),,(()2,0=,-())nnnWtWtWtWnttttWtWt是相互独立的随机变量2000000()200000000001212xxtWttWtWttWtxfxxetPWttxWtxfxxdxPWttxWtx上式表明，给定初始条件W(t0)=x0，对于任意的t0，布朗运动在t0+t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等。这种性质称为布朗运动的对称性。布朗运动W(t)的对称性在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密度函数为()~(0,)WatNat12=()XaWt令221-2--22--11(())==22yzxaxattPWatxedyedzatt21-212-2-1()=(())=2yaxtPXxPaWtxedytyaz自相似性证明要证X服从正态分布时间可逆性证明：显然B(0)=W(T)-W(T-0)=0()()()()(()())~(0,()0),BtBsWTWTtWTWTsNtsts1021-101()-()2,0,()-(=,),,()-()nnnntBtBtBtBtBtBttt01121(-)-(),()-(),,()-()nnWTtWTtWTtWTtWTtWTt即是相互独立的随机变量4.平移不变性：B(t)=W(t+a)-W(a)，t≥0,a是常数，则B(t)是BM5.尺度不变性：(){,}(0)Wcttcc是标准BM6.马氏性：布朗运动是马氏过程,0,,0,,0stPWtsaWsxWuusPWtsWsaxWsxBuusPWtsWsaxPWtsaWsx因为布朗运动是独立增量过程，所以，W(t+s)-W(s)与过程在时刻s之前的值独立。例5设{W(t)，t≥0}是标准布朗运动，求E(W(2)W(3)),E(W(2)∣W(3)),E(W(2)W(4)∣W(3)).解（1）((2)(3))EWW22(2)(3)(2)(2)E2(2)((3)(2))(2)E2(2)(3)(2)(2)EWEWWEW(2)VarW2(2)(3)EWW2(3)3W(2)(4)(3)E（2）（3）(2)(4)(2),(3)(3)EE(2)(4)(2),(3)(3)EWE(2)(4)(3)(3)EWE(2)(3)(3)E(3)(2)(3)WEWW22(3)3W7，布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的。8，布朗运动的轨道在任何点都不是可微的。9，布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的。10，对于任意的t，布朗运动在[0,t]上的二次变差等于t。二次变差的定义定义：设函数f(t)在[0，T]上有定义，在[0，T]上定义一个剖分010NtttT则相应于剖分,f(t)的二次变差定义为1210NkkkQftft二次变差函数是随机微积分中最基本的定义之一是伊藤积分等的研究对象和分析工具，对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响性质8.Brown运动样本轨道的不可微性定理3.2.1设0,t对于固定的时刻t0,定义增量()=(+)-(),WtWttWt那么对于任意固定的0,x和时刻0,t有+0()(lim)=1tWtPxt++00()()(lim)=lim()ttWtWtPxPxtt+0=lim(())tPWtxt+2+02=limexp(-)22xttydytt+2+02=limexp(-)2xttzdz2+02=exp(-)=12zdz例6设W(t)是布朗运动，求W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布。解令((1),(2),(3),(4))TX则X是多元正态分布,具有零均值,协方差矩阵为1111122212331234令(1,1,1,1),A则(1)(2)(3)(4)(0,)T30,TAA而所以,(0,30)AXN补充：布朗运动的首达时与最大值0{(),0}inf{,0,()},.0,()max()0{}{()}{}{()}autaaWttTttWtaatMtWuaTtMtaPTtPMta