几何体外接球外切球问题

球的组合体问题专题1．已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π2．已知正三棱锥P﹣ABC中E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积（）A．4πB．6πC．8πD．12π3．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A．3+3B．3（+）C．3+3D．3（+）4．已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为3，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．4πC．D．16π5．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2，则此三棱柱外接球的表面积是（）A．πB．πC．3πD．π6．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1D．27．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2：1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为π，则此三棱柱的侧面积为（）A．B．C．8D．69．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）A．32B．36C．48D．6410．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足，，，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）A．9B．18C．36D．7211．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）A．18B．24C．18D．2412．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为（）A．8B．16C．32D．64对数函数练习13．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a14．设a，b，c均为正数，且2a=，，，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c15．已知函数则不等式的解集为（）A．（，1）B．[1，4]C．（，4）D．[1，+∞16．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a17．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=xB．y=lgxC．y=2xD．y=18．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．logac＜logbcB．logca＜logcbC．ac＜bcD．ca＞cb19．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（）A．c＞a＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．b＞a＞c20．已知函数f（x）=log[x2﹣2（2a﹣1）x+8]，a∈R，若f（x）在[a，+∞）上为减函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣，2]C．（﹣∞，1]D．（﹣，1]2016年12月12日的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2016秋•晋中期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【分析】根据已知求出△ABC外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=，∴△ABC的外接圆半径r==2，所以三棱锥外接球的半径R2=r2+（）2=（2）2+22=16，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=64π．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的外接球体积与计算能力的应用问题，确定三棱锥的外接球半径是解题的关键．2．（2016•福安市校级模拟）已知正三棱锥P﹣ABC中E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】由正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理证明PA⊥平面PBC，可得以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，利用正方体的体对角线是外接球的直径，求出半径，代入球的表面积求出答案．【解答】解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，∵P﹣ABC是正三棱锥，∴PA⊥BC（对棱垂直），∴EF⊥BC，又EF⊥BF，且BF∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，如图所示：∵三棱锥和正方体有相同的外接球，∴正方体的体对角线就是外接球的直径，又AB=2，∴PA=，∴2R=，则R=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为：4πR2=4π×=6π，故选B．【点评】本题考查了正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理，以及球的表面积公式，几何体外接球的表面积的求法，将正三棱锥还原为正方体是解题的关键．3．（2016•大庆校级三模）已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A．3+3B．3（+）C．3+3D．3（+）【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则R=2，由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3．则AB=3，AB=2，PA=3，则该正三棱锥的表面积是：+3×××=3+3．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的表面积的求法，正三棱锥与外接球的关系，考查空间想象能力以及计算能力．4．（2016•潮州校级模拟）已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为3，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．4πC．D．16π【分析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：如图，∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为3，侧棱长为2，BE=••3=，∴高AE==1．由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形BOE中，BO=R，EO==1﹣R，由BO2=BE2+EO2，得R2=3+（1﹣R）2，R=2，∴外接球的半径为，表面积为：•π•R3=，故选：C．【点评】本题属于中档题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．5．（2016•太原二模）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为2，则此三棱柱外接球的表面积是（）A．πB．πC．3πD．π【分析】由题意可得：×a2×a=2，解得a．设此三棱柱外接球的半径为R，利用勾股定理可得R2．再利用球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得：×a2×a=2，解得a=2．设此三棱柱外接球的半径为R，则R2=+=．∴此三棱柱外接球的表面积S=4πR2=．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的面积计算公式、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2016秋•福州期中）已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（）A．B．C．1D．2【分析】设正方体的棱长为x，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为x，则π=4π，解得x=，故选：A．【点评】本题考查了球的内接正方体的对角线即为球的直径的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2015•哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．故选C．【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．8．（2015•衡阳二模）已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2：1，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为π，则此三棱柱的侧面积为（）A．B．C．8D．6【分析】球与三棱柱的关系得出4πr2=π，得r2=，根据几何性质得出r2=x2+（x）2，利用公式得出三棱柱的侧面积为6．【解答】解：设底面边长为x球半径为r，则4πr2=π，得r2=，又题意得r2=x2+（x）2，解得x=1，故三棱柱的侧面积为6．故选：D【点评】本题空间几何体的性质，球与三棱柱的镶嵌问题，注意边长，半径的关系，计算准确，属于中档题．9．（2015秋•资阳期末）已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为（）A．32B．36C．48D．64【分析】先由球的表面积求出球的半径，由此能求出其内接正四棱柱的底面边长，从而能求出这个正四棱柱的侧面积．【解答】解：设表面积为24π的球体的半径为R，则4πR2=24π，解得R=，∵其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，设这个正四棱柱的底面边长为a，∴=2，解得a=2，∴这个正四棱柱的侧面积S=4×2×4=32．故选：A．【点评】本题考查正四棱柱的侧面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．10．（2015秋•琼海校级月考）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足，，，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）A．9B．18C．36D．72【分析】由已知得PA，PB，PC两两垂直，36=PA2+PB2+PC2，由基本不等式可得36≥PA•PB+PB•PC+PA•PC，由此能求出三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．【解答】解：∵，，，∴PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上∴（2×3）2=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，即36=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC则三棱锥P﹣ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤18，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为18．故选：B．【点评】本题考查三棱锥的侧面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用．11．（2014•焦作一模）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为（）A．18B．24C．18D．24【分析】由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．【解答】解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴36=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•P