二次函数动点问题

二次函数动点问题题型Ⅰ因动点而产生的面积问题（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．解：（1）令y=0，即﹣x2+x+2=0；解得x1=﹣，x2=2．∴C（﹣，0）、A（2，0）．令x=0，即y=2，∴B（0，2）．综上，A（2，0）、B（0，2）．（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，∴0=k1•2+2∴k1=﹣∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，∴OD=OA=2∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）．因为y=过点D，∴3=，∴k=3．（4）∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2﹣t；∴S△OPQ=•（2﹣t）•t=﹣（t﹣2）2+；依题意有，解得0＜t≤4．∴当t=2时，S有最大值为．点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．题型Ⅱ因动点而产生的等腰三角形问题如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析与解答】二次函数综合题，需要分类讨论解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．题型Ⅲ因动点而产生的直角三角形问题我来试一试！ACByx011如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）点M1分（2）经过t秒时，NBt，2OMt则3CNt，42AMt∵BCA=MAQ=45∴3QNCNt∴1PQt∴11(42)(1)22AMQSAMPQtt△22tt∴2219224Sttt∵02t≤≤∴当12t时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则3CNt，42AMt∴BCA=MAQ=45①若90AQM，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴12PQAPMA∴11(42)2tt∴12t∴点M的坐标为（1，0）②若90QMA，此时QM与QP重合∴QMQPMA∴142tt∴1t∴点M的坐标为（2，0）题型Ⅳ因动点而产生的相似形问题图12yxPQBCNMOA如图，已知抛物线的方程C1:y=-1m(x+2)(x-m)(m0)与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）把M(2，2)代入y=-1m(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出S△BCE；（3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y=-1m(x+2)(x-m)得：2=-1m(2+2)(2-m)，解得m=4.（2）由y=0得：-14(x+2)(x-4)=0得x1=-2，x2=4∴B（-2，0）C（4，0）.由x=0得：y=2∴E（0，2）∴S△BCE=12BCOE=12×6×2=6.（3）当m=4时，C1的对称轴为x=12×（-2+4）=1，点B、C关于直线x=1对称.连EC交对称轴于点H，则H点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-12x+2，把x=1代入得H（1，32）.（4）分两种情况：①当△BEC∽△BCF时，则∠EBC=∠CBF=45°，BEBCBCBF即2BCBEBF，作FT⊥x轴于点T，∴可设F（x，-x-2）（x＞0），则-x-2=-1m(x+2)(x-m)∵x+2＞0∴x=2m，F（2m，-2m-2）.∴BF=222222221mmm，BE=22，BC=m+2.∴2222221mm解得m=222，又m＞0，∴m=222.②当△BEC∽△FCB时，则BCECBFBC，∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴2TFOEBTOCm，∴可设F（x，-2m（x+2））（x＞0），∴-2m（x+2）=-1m(x+2)(x-m)，∵x+2＞0∴x=m+2，F（m+2，-24mm），EC=24m，BC=m+2，BF=2224422mmm∴22222442422mmmmm，整理得0=16，显然不成立.综上：在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与△BCE相似，m=222.设抛物线22yaxbx与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．1如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．我来试一试！A例1.解：（1）令y=0，解得11x或23x∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入223yxx得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(,23)xxx∵P点在E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx∴当12x时，PE的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)FFFF，2、如图，已知与x轴交于点(10)A，和(50)B，的抛物线1l的顶点为(34)C，，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C．（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(04)D，，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点M，使ABM△是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2.解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，．设2l的函数关系式为2(3)4yax．又点(10)A，在抛物线2(3)4yax上，2(13)40a，解得1a．抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）．（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行．设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm，即2652mm．当2652mm时，解得36m．当2652mm时，1234554321解得32m．当点P运动到(362)，或(362)，或(322)，或(322)，时，PPOD∥，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB．过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM．112122EBBM，3EM，4OE．点M的坐标为(43)，．但是，当4x时，246451624533y．不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．