导数的基本概念及性质应用

ziye试题库-1-导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y=)(xf的导数)(xf，就是当Δx0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比xΔyΔ的极限，即)(xf＝0xΔlimxΔyΔ＝0xΔlimxΔf(x)-x)Δ(xf说明：分子和分母中间的变量必须保持一致２、导函数函数y=)(xf在区间(a,b)内每一点的导数都存在，就说在区)(xf间(a,b)内可导，其导数也是(a,b)内的函数，叫做)(xf的导函数，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0xx时的函数值)(0xf，就是)(xf在0x处的导数。３、导数的几何意义设函数y=)(xf在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的切线斜率。４、求导数的方法（１）基本求导公式0c)()(1Qmmxxmmxxcos)(sinxxsin)(cosxxee)(aaaxxln)(xx1)(lnaxxaln1)(log（２）导数的四则运算ziye试题库-2-vuvu)(vuvuuv)()0()(2vvvuvuvu（３）复合函数的导数设)(xgu在点x处可导，y=在点)(xf处可导，则复合函数)]([xgf在点x处可导，)()())(('''xufxfx导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y＝)(xf在某个区间内可导，若)(xf＞0，则)(xf为增函数；若)(xf＜0则为减函数。⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。①确定函数)(xf的定义区间②求)(xf，令)(xf＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。③把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间。④确定)(xf在各小开区间内的符号，根据)(xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有)(xf＜)(0xf（或)(xf＞)(0xf），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值点。称0x为极大（小）值点。⑵求可导函数极值的步骤。①求导数)(xf②求方程)(xf＝0的根③检验)(xf在方程)(xf＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝)(xf在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(xf＝0的方程3．函数的最大值与最小值ziye试题库-3-⑴设y＝)(xf是定义在区间[a,b]上的函数，y＝)(xf在(a,b)内有导数，求函数y＝)(xf在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进行。①求y＝)(xf在(a,b)内的极值。②将y＝)(xf在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。⑵若函数y＝)(xf在[a,b]上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数y＝)(xf在[a,b]上单调减少，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则xxaxfxaxfx)()(lim000等于()A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.0【变式】设)(xf在0x处可导__lim)()(000xxfxxfx题型二导数的几何意义、物理意义【例2】（1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfyziye试题库-4-（2）xxy12（3）xxky2)0(k（4）ln22xy题型四：利用导数求函数的最（极）值【例4】求函数13)(3xxxf在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】1、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象xyO12ziye试题库-5-如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D)2、函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。(I)讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；(II)过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程。【例7】已知函数32fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数yfx的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求：（1）0x的值；（2）a、b、c的值.xyyxyxyxO12O12O1212abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?Oziye试题库-6-【例8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值【例9】已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，且在1x处的切线方程是2yx（1）求)(xfy的解析式；（2）求)(xfy的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】（1）如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.[0,+)C.(3,+)D.[3,+)（2）如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是________________【例11】已知函数322fxaxxbx,,0abcRa且在区间,0上都是增函数，在（0，ziye试题库-7-4）上是减函数.（1）求b的值；（2）求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量13(3,1),(,)22ab，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3),,xatbykatb且xy，试确定函数()kft的单调区间例题答案：【例1】解：)(2)()(lim)()(lim)()()()(lim)()(lim0/00000000000000xafxaxfxaxfaxaxfxaxfaxxaxfxfxfxaxfxxaxfxaxfxaxaxx故选(C)【变式】：-1【例2】（1）222222)1(22)1(22)1(2'xxxxxxy，ziye试题库-8-0422|'1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22tttStttttttt4214)1(232422726111227291|'3tS。【例3】（1）232xxy)1)(23(xx)32,(x),1(时0y)1,32(x0y∴)32,(，),1()1,32(（2）221xxy∴)0,(，),0(（3）221xky∴),(kx),(k0y),0()0,(kkx0y∴),(k，),(k)0,(k，),0(k（4）xxxxy14142定义域为),0()21,0(x0y),21(x0y【例4】略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、C2、A【例6】分析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右f（x）的符号.（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（1）f（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f（1）=f（－1）=0，即.0323,0323baba解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，f（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令f（x）=0，得x=－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.若x∈（－1，1），则f（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.ziye试题库-9-所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.∵f（x0）=3x02－3，∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数fx的增减变化如下表：x,111,222,fx+0-0+fx极大极小（1）fx在x=1处由增变减，故1f为极大值，即0x=1.（2）由于232fxaxbxc，103202201240915512fabcafabcbfabcc【例8】解：f′（x）=3x2+2ax+b．据题意，－1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得∴a=－3，b=－9∴f（x）=x3－3x2－9x+c∵f（－1）=7，∴c=2极小值f（3）=33－3×32－9×3+2=－25∴极小值为－25，a=－3，b=－9，c=2【例9】解：（1）cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，则1c，'3'()42,(1)421,fxaxbxkfab切点为(1,1)，则cbxaxxf24)(的图象经过点(1,1)得591,,22abcab得3313231baziye试题库-10-4259()122fxxx（2）'3310310()1090,0,1010fxxxxx或单调递增区间为310310(,0),(,)1010【例10】（1）A（2）(-，0］【例11】解：⑴由条件知0x是函数yfx的极值点.∵232fxaxxb，令00f，得0b.⑵已求0b，∴232fxaxx.令0fx，得20,3xa.由条件知0x为极大值点，则23xa应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.∴243a，6103aa，得10,6a【例12】解：由13(3,1),(,)22ab得0,2,1abab22222[(3)]()0,(3)(3)0atbkatbkatabktabttb33311430,(3),()(3)44kttkttfttt