江苏省青华中学2018届高三上学期期末数学试题(1)

1江苏省青华中学2018届高三上学期期末数学试题（1）一、填空题：1.设集合{1,2,3}A，}6,4,2{B，则BA．2.已知复数z满足izi)1(，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．3.函数)413sin(2)(xxf的最小正周期为．4.已知一组数据：87，x，90，89，93的平均数为90，则该组数据的方差为．5.双曲线1322yx的离心率为．6.从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．7.执行如图所示的算法流程图，则输出x的值为．8.各棱长都为2的正四棱锥的体积为．9.已知公差不为零的等差数列}{na的前n项和为nS，且62a，若731,,aaa成等比数列，则8S的值为．10.如图，在半径为2的扇形AOB中，090AOB，P为弧AB上的一点，若2OAOP，则ABOP的值为．11.已知函数1)(xxeexf（e为自然对数的底数），若2)4()12(2xfxf，则实数x的取值范围是．12.已知实数yx,满足322yx，则22)2(4)2(1yxyx的最小值为．13.已知P是圆4:22yxO上的动点，点)0,4(A，若直线1kxy上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，则实数k的取值范围是．214.已知函数axxxf2)(23，若存在],(0ax，使0)(0xf，则实数a的取值范围是．二、解答题15.已知ABC的内角CBA,,所对应的边分别为cba,,，且Abccacos22.（1）求角B的大小；（2）若32b，4ca，求ABC的面积.16.如图，在三棱锥ABCS中，SCSA，ACAB，D为BC的中点，E为AC上一点，且//DE平面SAB，求证：（1）直线//AB平面SDE；（2）平面ABC平面SDE.317.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直线上，点HGDC,,,在圆周上，FE,在边CD上，且3BOG，设BOC.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为)(f，求)(f的表达式；（2）求符合园林局要求的的余弦值.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆:E)0(12222babyax的左顶点为)0,2(A，离心率为21，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.419.已知数列}{na的前n项和为nS，满足12nnaS，*Nn，数列}{nb满足)1()1(1nnbnnbnn，*Nn，且11b.（1）求数列}{na和}{nb的通项公式；（2）若nnnbac，数列}{nc的前n项和为nT，对任意的*Nn，都有anSTnn，求实数a的取值范围.（3）是否存在正正数nm,，使)1(,,1nbabnm成等差数列？若存在，求出所有满足条件的nm,；若不存在，请说明理由.20.已知函数xeaxxf)1()(（0a，e是自然对数的底数）.（1）若函数)(xf在区间]2,1[上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数)(xf的极值；（3）设函数)(xf图像上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围.5附加题21.B.【选修4-2：矩阵与变换】已知矩阵2101A，若直线1kxy在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点)6,2(P，求实数k的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，圆C的方程为)0(cos2aa，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为11215tytx（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围.6第22题、22.如图，在三棱锥BOCA中，OCOBAO,,两两互相垂直，点ED,分别为棱ACBC,的中点，F在棱AO上，且满足OAOF41，已知4OCOA，2OB.（1）求异面直线AD与OC所成角的余弦值；（2）求二面角DEFC的正弦值.23.某同学在上学路上要经过CBA,,三个带有红绿灯的路口，已知他在CBA,,三个路口遇到红灯的概率依次是434131，，，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件X，求X的概率分布与期望)(XE.7试卷答案一、填空题1．{2}2．123．64．45．26．357．48．4239．8810．22311．(1,3)12．3513．4[,0]314．[1,0][2,)二、解答题15．（1）因为22cosacbA，由正弦定理，得sin+2sin2sincosACBA．因为CAB，所以sin+2sin2sincosAABBA．即sin+2sincos2cossin2sincosAABABBA，所以sin1+2cos0AB．因为sin0A，所以1cos2B又因为0B，所以23B．（2）由余弦定理2222cosacacBb及23b得，22+12acac，即2()12acac．又因为=4ac，所以4ac，所以113=sin43222ABCSacB△．16.（1）因为//DE平面SAB，DE平面ABC，平面SAB平面ABCAB，所以//DEAB．因为DE平面SDE，AB平面SDE，所以//AB平面SDE．（2）因为D为BC的中点，//DEAB，所以E为AC的中点．又因为SASC，所以SEAC，又ABAC，//DEAB，所以DEAC．又,DESE平面SDE，DESEE，所以AC平面SDE．因为AC平面ABC，所以平面ABC平面SDE．17．（1）由题意，2cosABR，sinBCR，且HOG△为等边三角形，8所以HGR，3sin2EHRR，()=ABCDEFGHfSS矩形矩形32cossin(sin)2RRRRR23(2sincossin+2R），(0)3，．（2）要符合园林局的要求，只要()f最小，由（1）知，22222()(2cos2sincos=(4coscos2)fRR），令()0f，即24coscos2=0，解得1+33cos=8或133cos=8（舍去），令01+33cos=8，0(0)3，，当00（，）时，()0,()ff是单调减函数；当03（，）时，()0,()ff是单调增函数，所以当0=时，()f取得最小值.答：符合园林局要求的的余弦值为1+338.18．（1）由题意可得：2,1,2ae即2,1.2aca从而有2223bac，所以椭圆E的标准方程为：22143xy．（2）设直线l的方程为(2)ykx，代入22143xy，得2222(34)1616120kxkxk，因为2x为该方程的一个根，解得2226812(,)3434kkBkk，9设0(0,)Cy,由1ACBCkk,得：020221234168234kyykkk，即：22200(34)12(1612)0kykyk()由ACBC,即22ACBC，得2222002268124()()3434kkyykk，即22202226812244()()343434kkkykkk，即22222204(34)(68)14424(34)kkkkky，所以0k或02234kyk，当0k时，直线l的方程为0y，当02234kyk时，代入()得4216790kk，解得34k，此时直线l的方程为3(2)4yx.综上,直线l的方程为0y，3(2)4yx.19．（1）当=1n时，11121=Saa，所以1=1a．当2n时，21nnSa，-1-121nnSa，两式相减得12nnaa，又1=1a，所以12nnaa，从而数列{}na为首项1=1a，公比=2q的等比数列，从而数列{}na的通项公式为12nna．由1(1)(1)nnnbnbnn两边同除以(1)nn，得111nnbbnn，从而数列{}nbn为首项11b，公差1d的等差数列，所以=nbnn，从而数列{}nb的通项公式为2nbn．（2）由（1）得12nnnncabn，10于是221112232(1)22nnnTnn，所以2312122232(1)22nnnTnn，两式相减得211212222212nnnnnTnn，所以12+1nnTn（），由（1）得2121nnnSa，因为对*nN，都有nnTnSa，即12+1(21)nnnna（）恒成立，所以21nan恒成立，记21nndn，所以min()nad，因为1+1[2(1)1](21)nnnnddnn210n，从而数列nd为递增数列，所以当=1n时，nd取最小值1=0d，于是0a．（3）假设存在正整数mn，，使1,,mnbab(1n)成等差数列，则1+=2nmbba，即212mn，若n为偶数，则21n为奇数，而2m为偶数，上式不成立.若n为奇数，设21()nkkN，则22211+(21)4422mnkkk，于是212212mkk，即212()12mkk，当1m时，1k，此时=21=1nk与1n矛盾；当2m…时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.综上所述，满足条件的mn，不存在．20．（1）函数()fx的导函数'()(1)exfxaxa，则0)('xf在区间1,2上恒成立，且等号不恒成立，又e0x，所以01aax在区间1,2上恒成立，记()1gxaxa，只需0)2(0)1(gg,即013012aa解得31a．经检验，31a时，()fx是1,2上的单调减函数，11又0a，所以实数a的取值范围是1(,0)(0,]3．（2）由'()(1)e=0xfxaxa，得1axa，①当0a时，有1(,),()0axfxa；1(,),()0axfxa，所以函数()fx在1(,)aa上单调递增，在1(,)aa上单调递减，所以函数()fx在1axa取得极大值1eaaa，没有极小值．②当0a时，有1(,),()0axfxa；1(,),()0axfxa，所以函数()fx在1(,)aa上单调递减，在1(,)aa上单调递增，所以函数()fx在1axa取得极小值1eaaa，没有极大值．综上可知:当0a时，函数()fx在1axa取得极大值1eaaa，没有极小值；当0a时，函数()fx在1axa取得极小值1eaaa，没有极大值．（3）设切点为(,(1)e)tTtat，则曲线在点T处的切线l方程为(1)e(1)()ettyatataxt，当1ata时，切线l的方程为1=(1)e=eatayata，其在x轴上的截距不存在．当1ata时，令0y，得切线l在x轴上的截距为11atxtata(1)1ataatata11ata