2.2直接证明与间接证明

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.其特点是“由因导果”.1.综合法:(顺推证法或由因导果法)则综合法可用框图表示如下：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.1PQ12QQ23QQnQQ…已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明:∵b2+c2≥2bc,a0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b0∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.例题1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．分析•将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°；•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是2b=ac.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.证明：由A，B，C成等差数列，所以2B=A+C.①由A，B，C为△ＡＢC的内角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°②πB=.3③由a，b，c成等比数列，有2b=ac.④由①②，得①②，得由①②，得由余弦定理及③④，可得222b=a+c-2accosB22a+c-ac=ac,即2a-c=0.（）因此a=c.从而A=C.⑤πA=B=C=.3所以△ＡＢC为等边三角形.由②③⑤,得2.分析法(逆推证法或执果索因法)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).特点：执果索因我们也可以用框图来表示分析法：1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…分析法的适用范围：当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2例1：证明:要证只需证:只需证:只需证:因为:成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2证明：只需证223+725.（）（）只需证10+22120，3+725，因为和都是正数，所以要证3+725例题23+725.求证：即证215，即证2125.因为2125成立，所以成立.3+725在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就是综合法.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.反思注：反证法是最常用的间接证法一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法3.反证法(归谬法)1.反证法的步骤：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；即假定原命题的反面为真；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理,得出矛盾；（1）直接证明有困难正难则反!（3）唯一性命题（2）否定或肯定性命题（4）至多，至少型命题2.适宜用反证法证明的题型例1：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=0  12xx因为x0201xx故假设不成立，结论成立。证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1≠x2)是方程的两个根.所以a=0,这与已知矛盾例2:设0a,b,c1，求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a164①又∵0a,b,c1∴2(1)10(1)24aaaa≤同理：1(1)4bb≤1(1)4cc≤以上三式相乘:(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴假设不成立，原结论成立,(1b)c41,(1c)a41证明：假设(1a)b41