数值分析上机实验报告

数值分析上机实验理学院11级统计01班41108030125鲁庆实验报告一一．实验名称误差与误差估计二．实验目的掌握数值运算的误差估计方法三．数学原理1.绝对误差(*)ex设某一量的准确值为x，近似值为x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为*(*)*eexxx2.绝对误差限适当小的正数，使|(*)||*|*exxx则称*为近似值x*的绝对误差限。(有时用*xx表示近似值x*的精度或准确值的所在范围。3.相对误差(*)rex绝对误差与准确值之比*(*)*(*),0rrexxxeexxxx称为x*的相对误差。4.相对误差限(*)rx若指定一个适当小的正数(*)rx，使|(*)||(*)|(*)||rrexexxx则称(*)rx为近似值x*的相对误差限。5.有效数字若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。6.绝对误差的运算：)()()(2121xxxx)()()(122121xxxxxxxxxxxxx)()()((f(x))()(x)fx四．实验内容1.计算In=e1-10nxex2dx(n=0,1,...)并估计误差。解：I0=exp(-1)*quad('(x.^0).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I0,10)ans=.5380795069I1=exp(-1)*quad('(x.^1).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I1,10)ans=.3160602794I2=exp(-1)*quad('(x.^2).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I2,10)ans=.2309602465I3=exp(-1)*quad('(x.^3).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I3,10)ans=.1839397206I4=exp(-1)*quad('(x.^4).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I4,10)ans=.1535596302I5=exp(-1)*quad('(x.^5).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I5,10)ans=.1321205588I6=exp(-1)*quad('(x.^6).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I6,10)ans=.1161009245I7=exp(-1)*quad('(x.^7).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I7,10)ans=.1036383235I8=exp(-1)*quad('(x.^8).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I8,10)ans=.9364676413e-1I9=exp(-1)*quad('(x.^9).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));vpa(I9,10)ans=.8544670595e-12.计算x255的值。如果逐个相乘用254次乘法，但若写成x255=,.......128643216842XXXXXXXX只要做14次乘法运算即可。有如计算多项式aaxaxapnnnnnx0111...)(的值时，若直接计算xakk再逐项相加，一共需做n+(n-1)+...+2+1=2)1(nn次乘法和n次加法。若采用秦九韶法spaxssasxnkkknn01)(,,（k=n-1,n-2,...,0）,只要n次乘法和n次加法就可算出xpn的值。若5,3201aaann，求（1）,5.0,100xxp（2）.13,150xxp解：functionq=qjs(n,x)a(1)=5;fori=1:n+1a(i+1)=2.*a(i)+3;ends1=a(n+1);forj=1:ns=x*s1+a(n+1-j);s1=s;endq=s;endqjs(100,0.5)ans=802qjs(150,13)ans=1.4660e+2133.设028Y，按递推公式11783100nnYY（n=1,2,…）计算到100Y，Y500。若取78327.982（5位有效数字），试问计算100Y，Y500将有多大误差？解：11783100nnYY100991783100YY99981783100YY98971783100YY......101783100YY依次代入后，有10001100783100YY即1000783YY，若取78327.982,100027.982YY*310001()()(27.982)102YY100Y的误差限为31102。同理，Y500=Y0-500X1001783,即Y500=Y0-5x783，若取78327.982,所以Y500=Y0-139.91，所以Y500的误差限为21X102.实验报告二一．实验名称插值法二．实验目的掌握牛顿插值公式，Hermite插值公式，三次样条插值等。三．数学原理1.插值问题1、定义：求一个简单函数φ(x)作为f(x)的近似表达式，以满足(),0,1,,iixyin我们称这样的问题为插值问题；并称φ(x)为f(x)的插值函数；f(x)为被插函数，x0,x1,x2,…,xn是插值节(基)点；(),0,1,,iixyin是插值原则.2.插值多项式1、定义：求一个次数不超过n的多项式2012()nnnPxaaxaxax使满足插值原则(条件)(),0,1,,niiPxyin称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式2、定理：在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。0()()()()nniiPxPxpxxx也是一个插值多项式，其中()px可以是任意多项式。3.插值问题拉格朗日差值牛顿插值000()()()()nnnniiiLxylxylxylx0010001()()[,]()...[,...]()...()nnnNxfxfxxxxfxxxxxx二次插值基函数02110120122021()()()()()()()()()()xxxxlxxxxxxxxxlxxxxx一阶差商()()[,]jiijjifxfxfxxxxk阶差商0110110()()()()()()()()()iiiniiiiiinnjjijjilxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx()1,()0,iiijlxlx01020111[,,...,][,...,,][,,...,]kkkkkkfxxxfxxxfxxxxx零阶差商[]()iifxfx1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性3.若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，则()01()[,,,],[,]!nnffxxxabn()()()nnRxfxLx(1)1101()()()(1)!()()()()nnnnnfRxxnxxxxxxx为了使得|ωn+1(x)|尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使x尽可能位于区间Ix的中部，这里Ix是包含x以及所用基点的最小闭区间。(1)10100()()()(1)![,,...,]()=[,,...]()...()nnnnnnnfRxxnfxxxxfxxxxxxx1.计算量省，便于程序设计2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析埃尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2个条件求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)解法1：基函数法解法2：承袭法分段低次插值原因：当插值基点无限加密时，Pn(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(Runge)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。定义：设在[a,b]上给出插值条件：求一个折线插值函数Ih(x)满足xix0x1…xnf(xi)f0f1…fn1°Ih(x)是[a,b]上的连续函数2°Ih(xk)=fk，k=0,1,…,n3°Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数则称Ih(x)为分段线性插值函数数学表达：1111kkhkkkkkkxxxxIffxxxx1()kkxxx性质：1°分段线性插值多项式是分段函数；2°可以预见，但n充分大时，Ih(x)能很好逼近f(x)。3°Ih(x)有一个缺点：在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法：三次埃尔米特插值三次样条插值两种构造方法四．实验内容1.给出()lnfxx的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。解：线性插值X=[0.40.50.60.70.8];y=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144];f=interp1(X,y,0.54)f=-0.6202二次插值interp1(x0,y0,0.54,'spline')ans=-0.61609985000000X=[0.40.50.60.70.8];y=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144];f=interp1(X,y,0.54)f=-0.62022.给全cos,090xx的函数表，步长1(1/60),h若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：x=0:3/pi:1/2*pi;y=cos(x);f=interp1(x,y,'linear');vpa(f,5)ans=[0.,(NaN)]求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当090x时，令()cosfxx取0110,()606018010800xh令0,0,1,...,5400ixxihi则5400902x当1,kkxxx时，线性插值多项式为11111()()()kkkkkkkkxxxxLxfxfxxxxx插值余项为111()cos()()()()2kkRxxLxfxxxx又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cos0,1x，故计算中有误差传播过程。*5**112111*1111*1*1(())102()(())(())(())()1(())()(())kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkfxxxxxRxfxfxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxhfx总误差界为12*1*12*855()()1(cos)()()(())21()()(())211()(())2211.06101020.5010610kkkkkkkRRxRxxxxxfxxxxxfxhfx3.设2()1/(1)fxx，在55x上取1