江苏省常州市2013届高三调研测试(七)(数学)

第1页（共9页）江苏省常州市2013届高三调研测试（七）（数学）2013、02一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.设集合A＝{1，a}，B＝{a}，若BA，则实数a的值为__________．2.已知复数z＝－1＋i(i为虚数单位)，计算：z·z－z－z－＝__________．3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为__________．4.根据右图所示的算法，输出的结果为________．5.已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________．6.函数f(x)＝cos2xcos(1)2x的最小正周期为__________．7.函数f(x)＝log2(4－x2)的值域为__________．(第4题)8.已知点A(1，1)和点B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d为常数)上，若曲线C在点A、B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝____________．9.已知向量a、b满足a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，则向量a、b的夹角的大小为________．10.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题是__________．(填序号)11.已知函数f(x)＝2x，x≥2，（x－1）3，0＜x＜2，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______________．12.已知数列{an}满足a1＝43，2－an＋1＝12an＋6(n∈N*)，则i＝1n1ai＝____________．13.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M、N两点，点P为圆C上任意一点，则PM→·PN→的最大值为____________．14.已知实数x、y同时满足4－x＋27－y＝56，log27y－log4x≥16，27y－4x≤1，则x＋y的取值范围为____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知α、β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.第2页（共9页）(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：(1)MN∥平面PCD；(2)四边形MNCD是直角梯形；(3)DN⊥平面PCB.17.(本小题满分14分)第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状为矩形ABCD，已知BC＝a，CD＝b，a、b为常数且满足b＜a.组委会决定，从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区(点E、F分别在线段AB、AD上)，△AEF的周长为l(l＞2b)，如图．设AE＝x，△AEF的面积为S.(1)求S关于x的函数关系式；(2)试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF2→＋5BF2→＝0.(1)求椭圆E的离心率；(2)已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．第3页（共9页）19.(本小题满分16分)已知数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3＝27.(1)若a1＝b2，a4＝b3，求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数且成等比数列，求a3的最大值．20.(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)＝x|x－a|－lnx.(1)若a＝1，求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底数)的最大值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若f(x)＞0恒成立，求a的取值范围.2013届高三调研测试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4–1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.B.选修4–2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A＝33cd(c、d为实数)，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝3－2.求矩阵A的逆矩阵．第4页（共9页）C.选修4–4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos()3＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝22cos()4，判断曲线C1与C2的位置关系．D.选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知x、y、z均为正实数，且x＋y＋z＝1.求证：x2y＋z＋y2x＋z＋z2x＋y≥12.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一个口袋中装有黑球和白球共9个(这些球除颜色外完全相同)，从中任取2个球都是白球的概率为512.现甲、乙两人从该口袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取出1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．空间内有n(n∈N*)个不重合的平面，设这n个平面最多将空间分成an(n∈N*)个部分．(1)求a1，a2，a3，a4；(2)写出an关于n(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明．第5页（共9页）2013届高三调研测试试卷(七)(常州)数学参考答案及评分标准1.02.－i3.54.115.8156.27.(－∞，2]8.79.π10.①③④11.0，1212.2·3n－n－2413.4＋4214.5615.解：(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－13＜0，∴－＜α－β＜0.(4分)∴sin(α－β)＝－1010.(6分)(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.(8分)∵α为锐角，sinα＝35，∴cosα＝45.(10分)∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)(12分)＝45×31010＋35×－1010＝91050.(14分)16.证明：(1)因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分)又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.(4分)(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥PD.因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.(6分)因为MD平面PAD，所以CD⊥MD.又MN∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(8分)(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.(9分)在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.(11分)在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.(13分)又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.(14分)17.解：(1)当l＞a＋b＋a2＋b2时，不能构成满足条件的三角形；当l≤a＋b＋a2＋b2时，设AF＝y，则x＋y＋x2＋y2＝l，整理，得y＝2lx－l22（x－l）.(2分)S＝12xy＝l（2x2－lx）4（x－l），x∈(0，b]．(4分)第6页（共9页）(2)S′＝l4·2x2－4lx＋l2（x－l）2，x∈(0，b]．(6分)令S′＝0，得2x2－4lx＋l2＝0，x＝2±22l.(8分)因为0＜x＜b＜l2，所以当2b＜l＜(2＋2)b时，b＞2－22l，S在0，2－22l上单调递增，在2－22l，b上单调递减；所以当x＝2－22l时，S的极大值也是最大值，Smax＝3－224l2；(10分)当l≥(2＋2)b时，b≤2－22l，S在(0，b]上单调递增，当x＝b时，Smax＝bl（2b－l）4（b－l）；(12分)故当△AEF的周长l满足2b＜l＜(2＋2)b时，取AE＝2－22l，直角三角形地块AEF的面积S最大，Smax＝3－224l2；当△AEF的周长l满足(2＋2)b≤l≤a＋b＋a2＋b2时，取AE＝b，直角三角形地块AEF的面积S最大，Smax＝bl（2b－l）4（b－l）.(14分)18.解：(1)∵AF2→＋5BF2→＝0，∴AF2→＝5F2B→.∴a＋c＝5(a－c)，化简，2a＝3c，故椭圆的离心率e＝ca＝23.(3分)(2)存在满足条件的常数λ，λ＝－47.∵点D(1，0)为OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，b＝5，左焦点F1(－2，0)，椭圆E的方程为x29＋y25＝1.(5分)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝x1－1y1y＋1，代入椭圆方程x29＋y25＝1，整理，得5－x1y21y2＋x1－1y1y－4＝0.(7分)∵y1＋y3＝y1（x1－1）x1－5，∴y3＝4y1x1－5.从而x3＝5x1－9x1－5，故点P5x1－9x1－5，4y1x1－5.(9分)同理，点Q5x2－9x2－5，4y2x2－5.(10分)∵三点M、F1、N共线，∴y1x1＋2＝y2x2＋2，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)从而k2＝y3－y4x3－x4＝4y1x1－5－4y2x2－55x1－9x1－5－5x2－9x2－5＝x1y2－x2y1＋5（y1－y2）4（x1－x2）＝74×y1－y2x1－x2＝74k1.(15分)第7页（共9页）故k1－47k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.(16分)19.解：∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＝2a2.∵a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5.(2分)∵{bn}是等比数列，∴b1b3＝b22.∵b1b2b3＝27，∴b2＝3.(4分)(1)由题设，a1＝b2＝3，从而等差数列{an}的公差等于2，故等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(6分)进而a4＝9，b3＝a4＝9，等比数列{bn}的公比等于3，故等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1.(8分)(2)设等差数列{an}的公差为d，等差数列{an}的公比为q，则a1＝5－d，b1＝3q，a3＝5＋d，b3＝3q.∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(a1＋b1)·(a3＋b3)＝(a2＋b2)2＝64.设a