河北职业技术师范学院教案编号17

河北科技师范学院教案编号17学年度第学期系（部）数理系教研室数学任课教师课程名称线性代数授课章节：第五章二次型第二节用满秩变换化二次型为标准形第三节用正交变换化二次型为标准形授课班级授课日期课题第二节用满秩变换化二次型为标准形第三节用正交变换化二次型为标准形时数2教学目的及要求使学生掌握用合同变换、配方法化二次型为标准型的方法，掌握正交变换和正交矩阵的概念及正交矩阵的判断方法教学重点用合同变换、配方法化二次型为标准型的方法，正交变换和正交矩阵的概念及正交矩阵的判断方法难点对正交矩阵的理解及应用教法、教具讲授法课堂设计（教学内容、过程、方法、图表等）时间分配（一）回顾上次课所讲主要内容，纠正作业中存在的问题。（二）引入新课。第五章第二节用满秩变换化二次型为标准形5.2.1用合同变换化二次型为标准形定理5.1任意秩为r的对称矩阵A，都可以用三套初等变换将A化成对角阵。定理5.2对于秩为r的对称矩阵A，必存在满秩矩阵P，使得APP1为对角阵。定理5.3对于秩为r的二次型，必存在满秩变换ypx，使二次型化成标准形2211rrykykf。5.2.2用配方法化二次型为标准型的方法化xAxxfT)(为标准型，相当于找可逆阵C，使ACCT为对角阵，不限定正交阵，有多种方法，此时的元素未必是A的特征值。举例说明Lagrange配方法：例1化32312123222162252xxxxxxxxxf成为标准型，并求所用的变换矩阵。解f322322232144)(xxxxxxx=2322321)2()(xxxxx令2333223211xyxxyxxxy，即2333223211yxyyxyyyx，在此变换之下，2221yyf，所用的变换矩阵为C。例2化323121622xxxxxxf化为标准型，并求所用的变换矩阵。解令33212211yxyyxyyx（1），代入得23232231322231216)2(2)(2)4(2)2(2yyyyyyyyyyyf，再令233222311yzyyzyyz，即233322311zyzzyzzy（2），在321321100111311zzzxxx之下232221622zzzf，所用的变换矩阵为C。一般地，任一二次型均可用如上方法化为标准型，二次型的秩等于标准型中的项数。尽管二次型的标准型不唯一，但标准型中项数唯一，不仅如此，其中正、负项数也唯一。定理5.4（惯性定理）如果对秩为r的实二次型xAxxfT)(，经可逆变换yCx及zPx化为标准型2211rrykykf及2211rrzzf（rikii,,1,0,。），则rkk,1中正数的个数（叫做正惯性指标s）与r,,1中正数的个数相等。从而rkk,1中负的个数（叫做负性指标t）与r,,1中负的个数也相等（因为nrts）。第三节用正交变换化二次型为标准形5.3.1正交变换与正交矩阵定义5.3如果线性变换Qxy保持内积不变，即对于任意的nRxx21,，总有),(),(2121xxQxQx，则称Qxy为正交变换，称相应的方阵Q为正交矩阵。定理5.5方阵Q为正交矩阵的充要条件为EQQT。定理5.6方阵Q为正交矩阵的充要条件为它的列（行）向量组构成标准向量组。（三）总结本次课所讲主要内容（四）布置作业作业参考文献作业P151~152：Ex4，5，8。参考文献同前。课后小结教研室主任（签字）：