河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(Word版含解析)

版权所有：中华资源库学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞12．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3D．﹣55．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．9版权所有：中华资源库．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．9．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜1B．﹣＜a≤1C．﹣≤a≤1D．a＜﹣1或a＞112．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）设m为常数，若点F（5，0）是双曲线的一个焦点，则m=．14．（5分）若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为．15．（5分）如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为．版权所有：中华资源库．（5分）若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（文科）设函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a2（a＞0），记不等式f（x）≤0的解集为A．（1）当a=1时，求集合A；（2）若（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．19．（12分）设a是实数，有下列两个命题：p：空间两点A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）的距离||＜3．q：抛物线y2=4x上的点M（，a）到其焦点F的距离|MF|＞2．已知“￢p”和“p∧q”都为假命题，求a的取值范围．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系中，若=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4．（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程版权所有：中华资源库（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程为y2=4x，先定位再定量．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线分布在一二象限，可得它的开口向右；又∵2p=4，∴=1，∴抛物线的焦点坐标为（1，0）．综上所述，抛物线y2=4x开口向右，焦点为（1，0）．故选C．版权所有：中华资源库点评：本题给出抛物线的标准方程，求它的开口方向与焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．解答：解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．点评：本题考查复合命题的真假情况．4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3D．﹣5考点：共线向量与共面向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得y=﹣1，z=4．∴y+z=3．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．5．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：把x=1代入x2﹣3x+2=0成立，而由x2﹣3x+2=0不见的得到x的值一定是1，还可能是2，从而得到要选的结论．解答：解：由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．版权所有：中华资源库所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，=++，结合条件，求出x，y，z，即可得出结论．解答：解：由题意，=++，∵=x+2y+3z，∴x=1，y=，z=﹣，∴x+y+z=1+﹣=．故选：B．点评：本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查空间向量的加法运算，比较基础．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．9考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．版权所有：中华资源库分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．8．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：因为不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，可求p、q的值，代入不等式qx2﹣px﹣1＞0，可解之．解答：解：∵不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，∴2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，由根与系数关系可得，2+3=p，2×3=﹣q，即p=5，q=﹣6所以不等式qx2﹣px﹣1＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得即不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是故选B点评：本题考查一元二次不等式的解集，关键是知道不等式的解集和对应方程的解之间的关系，属基础题．版权所有：中华资源库．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．解答：解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在．10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离考点：双曲线的简单性质；圆与圆的位置关系及其判定．专题：作图题．分析：由圆与圆的位置关系，判断两圆的位置关系需判断圆心距与半径和或差的关系，本题中圆心距即为焦点三角形的中位线，利用双曲线的定义即可证明圆心距等于半径之差，故为内切解答：解：如图，设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的圆心坐标分别为B，O，半径分别为R，r在三角形PF1F2中，圆心距|OB|====R﹣r∴分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是内切版权所有：中华资源库点评：本题考查了双曲线的定义，圆与圆的位置关系及其判断，恰当的将双曲线定义与半径和、差联系起来，是解决本题的关键11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣