河源市田家炳实验中学教学设计(陈甘敬)

1教学设计评选活动参赛作品课题：双曲线及其标准方程备课组：高二数学设计者：陈甘敬一、教学内容分析：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。本课是人教版《选修2-1》$2.3第一课时，它是学习双曲线的性质及其应用的基础。双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握而又非常重要，学习时要注意和椭圆的定义联系与区别，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备，又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。二、学生情况分析：学生通过对椭圆的学习，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法．而双曲线问题与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可以在本节课中得到体现．学生经过前期解析几何的系统学习，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，解决双曲线一般问题已具备一定的基础．学生可以通过类比研究椭圆的方法自主探究、合作交流等方式得出双曲线的定义和标准方程。三、教学目标：(一)知识与技能：使学生掌握双曲线的定义和标准方程，在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。(二)过程与方法：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生对双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。(三)情感态度与价值观：通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣。四、教学重点：双曲线的定义及其标准方程。解决办法：通过几何画板演示得出双曲线，再设问给出双曲线的定义，通过类比椭圆加深对双曲线定义与标准方程的认识。五、教学难点：双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解及常数a2（212FFa＜）的限定的理解。解决办法：通过多媒体分析各种情况，说明定义中的常数要大于0而小于21FF，否则就是两条射线或是没有轨迹，若没有“绝对值”就只表示双曲线的一支。六、教学方法及设计意图：1、通过多媒体课件演示，激发学生学习数学的兴趣，使学生形象直观地观察双曲线的轨迹。2、引导学生善于比较双曲线和椭圆的异同，让学生既加深了对旧知识的理解，又能在类比中分析、归纳、推理出新的知识。23、在讲解双曲线的定义时，分析各种情况，深化对“距离的差的绝对值”和常数a2（212FFa＜）的理解。4、有层次的安排例题、习题和思考题，从基础到思维激活再到能力提高，让学生从浅到深，逐步掌握所学的知识。5、本节课采用多媒体教学，可以更直观地将双曲线的形成轨迹演示给学生，有助于培养学生的空间想象能力，丰富学生的学习资源。七、教学过程设计：教师活动学生活动设计意图一、复习引入：（约4分钟）问题1：椭圆的第一定义是什么？生：把平面内与两个定点21、FF的距离的和等于常数a2（212FFa＞）的点的轨迹叫做椭圆。复习刚刚学习过的椭圆的定义，为引入双曲线的定义作一个铺垫。师：这两个定点21、FF叫做椭圆的什么？21FF呢？常数？生：21、FF叫做椭圆的焦点，21FF叫做椭圆的焦距，用c2表示，常数用a2表示。为与双曲线进行类比它们的相同点做准备。问题2：椭圆定义中为什么要限定（212FFa＞）呢？如果没有这个限定时是什么曲线呢？（几何画板演示）生：aMFMF221＝＋　无轨迹＜２若２　线段＝２若２　椭圆＞２若caFFcaca212为引入双曲线也有这种限定做铺垫。二、新知探索：（约16分钟）问题3：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？师生互动：（通过几何画板演示曲线）生：是双曲线。激发学生兴趣，引发学生联想和思考。师：为什么是“差的绝对值”呢？没有“绝对值”这个条件时，是表示什么曲线呢？（通过多媒体分析，得出结论）生：没有“绝对值”这个条件时，仅表示双曲线的一支。深化对“差的绝对值”的理解。问题4：在椭圆定义中有常数212FFa＞的限定，那么在双曲线定义中，生：有，常数212FFa＜激起学生将双曲线与椭圆进行比较，引起联想。3常数a2与21FF的大小是否也有限定呢？师：若212FFa＝或212FFa＞会是什么曲线呢？（用几何画板进行分析）生：aMFMF＝２－21　无轨迹＞２若２　两条射线＝２若２　双曲线＜２若cacaca2学生将双曲线与椭圆进行类比，培养学生的概括、归纳知识的能力。1、双曲线的定义：把平面内与两个定点21、FF的距离的差的绝对值等于常数a2（212FFa＜）的点的轨迹叫做双曲线。各种情况的分析、逐层的深入、对比双曲线的定义与椭圆的定义的共同点和不同点，引发学生兴趣和思考。有利于学生对新知识的理解和巩固。2、双曲线的标准方程：问题5：通过类比椭圆定义的方法我们得出了双曲线的定义，我们是否也可以类比推导椭圆标准方程的方法推导出双曲线的标准方程呢？生：可以。通过建系——设点——列式——化简。引发学生更深入的思考。师:（1）怎样建系？生：取过焦点21、FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。让学生类比椭圆的标准方程的推导方法进行推导，培养学生思维的严谨性。（2）怎样设点？生：设点),(yxM为双曲线上任意一点，)0,(1cF－)0,(2cF（3）怎样列式？由定义可知，双曲线上点的集合是4（4）怎样化简方程？将上述方程化为移项两边平方后整理得：两边再平方后整理得：由双曲线定义知即，∴，设代入上式整理得：这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是、，这里．师：如果双曲线的焦点在轴上时，方程是怎样的？答：问题6：如何判定双曲线的焦点位置？生:(1)从图象上看：焦点始终在与双曲线相交的那条坐标轴上；(2)从标准方程来看：焦点在二次项系数为正的那条坐标轴上。3、两种双曲线标准方程的比较。（约3分钟）师：和椭圆一样，双曲线的标准方程也有两种形式，我们又可以从哪些方面比较他们的异同呢？（师生互动）定义aMFMF221＝－（212FFa＜）方程）＞＞０，＝１（－02222babyax）＞＞０，＝１（－02222babxay位置特征焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标)0,(1cF－，)0,(2cF),0(1cF－，),0(2cF数量特征222bac＋＝（0,＞＞＞０＞bcac）但是a不一定大于b形象直观的表格更容易让学生比较出两种形式的异同。4、双曲线与椭圆之间的区别与联系。（约3分钟）师：双曲线与椭圆之间有什么区别和联系？教师多媒体演示，学生归纳总结。让学生在比较中深化对双曲线的理解。三、例题分析：（约8分钟）师生共同分析解答。通过该例题5例1、求椭圆＝１＋92522yx与双曲线＝１－2215yx的焦点坐标。的讲解，让学生区别椭圆与双曲线中cba,,的关系。例2、已知双曲线的两个焦点的坐标为)0,5(1－F，)0,5(2F，双曲线上一点P到21、FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的方程为)0,0(12222＞＞＋ba＝byax62＝a，102＝c,∴3a＝，5c＝故1635222＝－＝b所以,所求双曲线的标准方程为116922＝y－x通过例题的讲解和分析提高学生分析问题和解决问题的能力。师：若把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？生：若122a＝，102c＝则ca22＞，所以动点无轨迹。通过适当改变，培养学生思维的灵活性和深刻性。四、巩固练习：（约8分钟）求适合下列条件的双曲线的标准方程．)1(若焦点在x轴上＝４a，3＝b)2(焦点为)0,6(1－F,)0,6(2F且经过点)2,5(－生：学生自主练习巩固本节内容五、作业：P66习题2.3.A组.（1、2）巩固知识。六、思考题：如果再把双曲线定义中的“距离的差的绝对值”又该为“距离的积”，那么点的轨迹又会发生什么变化？把学生引入更深入的思考，培养学生发散性思维。八、小结：1、双曲线的定义及其限定条件。2、双曲线的图象和标准方程。3、双曲线的焦点坐标。4、a,b,c的关系。九、板书设计：＝１－１9622yx＝１－162022yx（1）（2）课题：双曲线及其标准方程１、双曲线的定义例１：练习１：２、双曲线的标准方程３、两种双曲线标准方程的比较例２：练习２：４、双曲线与椭圆之间的区别与联系6十、教学后记：１．“三维”目标设计应灵活开放：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。呈现方式具有新异性，能激发学习兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的系统性、严密性。2.课堂教学应面向全体学生、突出学生主体、尊重个体差异：本课设计为学生提供了主动参的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点，力求让学生做到：凡是学生能够自己学习的、观察的、表达的、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体，进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。３．注重过程、提倡参与，促进学生全面发展：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。４．充分利用、开发各种课程资源，拓展学用渠道：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。对双曲线形成过程，采用动态图像呈现，对学生感观产生刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大课堂的信息容量。