泊松过程的生成及其统计分析

泊松过程的生成及其统计分析实验报告班级：硕2035班姓名：吕奇学号：3112091020一、实验题目假设一个交换系统有M部电话，每个用户在很短的时间t（单位时间内）呼叫一次的概率为P；用户间呼入的时刻相互独立，当M很大，P很小时，时间t内到达交换机的呼叫次数构成泊松过程N(t)。tek!t)(k}N(t)-s)P{N(tk1、确定此泊松过程的参数。2、利用计算机仿真N(t)的生成过程。注意合理选择M和P，时间分辨率为一个单位时间t。3、为了比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度。取N(t)的多个样本并选取3个典型时间1t,2t,3t，得到)N(t1,)N(t2,)N(t3三个随机变量的样本，在一张图上画出其直方图及理论分布曲线，并将两者对照。比较M选取不同时的效果。注意：样本个数足够多。4、验证N(t)的增量平稳性。5、画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性。二、实验过程1、确定此泊松过程的参数由题目容易知道，在很短的时间t内M个用户的呼叫一次的概率为MP，而由定义知道，t时间内到达交换机的呼叫一次的概率为t1}N(t)-t)P{N(t，故有tMP（1）从而有tMP。2、利用计算机仿真N(t)的生成过程对每个用户，在t时间内呼叫一次的概率P很小，可以用rand函数生成一组[0,1]的随机数，当随机数小于P时，则认为有呼叫，将其置为1，否则认为没有呼叫，置为0；有M部电话，则生成M组[0,1]的随机数，对每组随机数用上诉方法得到一个只有0和1的逻辑矩阵，用来表示某一时刻是否有呼叫。下面是-610P,-310t,M=3000,总时间为T=5的实验结果：图1N(t)的生成结果可以看到呼叫的计数过程，是递增的，并且可以计算，时间T=5内呼叫总次数平均为15tMPT,多次时间结果最后的呼叫次数都在15次左右。程序：clcclearcloseallp=10^(-6);M=3000;dt=0.001;T=5;x=rand(M,T/dt);y=[];fori=1:Mforj=1:T/dtifx(i,j)px(i,j)=1;else012345602468101214时间t次数x(i,j)=0;endendendy=(sum(x)~=0);m=[];m(1)=0;fori=1:T/dtm(i+1)=m(i)+y(i);endt=1:T/dt+1;t=t*dt;plot(t,m)此外，matlab中还有二项分布生成函数binornd，可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中间的两个for循环，这个函数的功能是对一个发生概率为P的事件随机试验一次，若发生置为1，不发生置为0，此实验要对M个电话实验T/dt次，故生成的是M行，T/dt的矩阵，运行结果是一样的。3、比较生成的N(t)与理论模型的吻合程度（1）)N(t1,)N(t2,)N(t3的统计直方图和理论分布曲线下面是-6105P,-3103t,M=3000,总时间为T=1.2，选取时间t1=0.3，t2=0.6，t3=0.9作2000次试验统计的实验结果：图2)N(t1,)N(t2,)N(t3的统计直方图和理论分布曲线02468101200.050.10.150.20.250.30.35呼叫次数相应呼叫次数发生的概率在图2中，圆圈代表)N(t1的统计直方图，正方形代表)N(t2的统计直方图，五角星代表)N(t3的直方图。从图中可以看出，虽然有较小的误差，但是生成的N(t)和理论模型还是基本吻合的。程序中主要用到了直方图统计函数hist，生成max(Nt1)-min(Nt1)个直方条间的间隔刚好是1，此时的坐标分别为0.5、1.5、2.5……，并且0.5的直方条包括了0次呼叫和1次呼叫的的概率，1.5、2.5、3.5等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相关修正。程序：clcclearcloseallp=5*10^(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2;loop=2000;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;fork=1:loop%作loop次试验x=rand(M,T/dt);fori=1:Mforj=1:T/dtifx(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendtt=dt*find((sum(x)~=0)==1);%每次试验各个呼叫发生的时刻Nt1(k)=sum(ttt1);%每次试验在时间（0，t1）内呼叫的次数Nt2(k)=sum(ttt2);Nt3(k)=sum(ttt3);end[N1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1));%（0，t1）内呼叫次数的统计直方图[N2,index2]=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2));[N3,index3]=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3));index1=[min(Nt1),index1+0.5];%作相关修正index2=[min(Nt2),index2+0.5];index3=[min(Nt3),index3+0.5];N1=[sum(Nt1==min(Nt1)),N1(1)-sum(Nt1==min(Nt1)),N1(2:end)];N2=[sum(Nt2==min(Nt2)),N2(1)-sum(Nt2==min(Nt2)),N2(2:end)];N3=[sum(Nt3==min(Nt3)),N3(1)-sum(Nt3==min(Nt3)),N3(2:end)];p1=[];p2=[];p3=[];fork=1:length(index1)p1=[p1,(a*t1)^index1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k))];%理论值endfork=1:length(index2)p2=[p2,(a*t2)^index2(k)*exp(-a*t2)/factorial(index2(k))];endfork=1:length(index3)p3=[p3,(a*t3)^index3(k)*exp(-a*t3)/factorial(index3(k))];endstem(index1,N1/loop,'r');holdonplot(index1,p1,'r')holdonstem(index2,N2/loop,'bs');holdonplot(index2,p2,'b')holdonstem(index3,N3/loop,'gp');holdonplot(index3,p3,'g')holdon（2）比较M不同时的实验效果对于上面的参数，我们选择t2时刻，M分别取1000、2000、3000得到)2t(N的统计直方图如图3所示，圆形对应的是M=1000，正方形对应的是M=2000，五角星对应的是M=3000，从图3中可以看到，当M值增大时，直方图和；理论曲线都往右移动，从理论上分析，在P和t不变时，M值越大，强度常数越大，相同时间内呼叫的次数更多，所以在呼叫次数多的地方概率更大，曲线往右移动。图3M不同时的实验效果对比4、验证N(t)的增量平稳性增量平稳性数学表示为，对任何s和t，P{N(s+t)-N(s)=n}=P{N(t)=n}，即在相同时间内呼叫n次的概率相等。下图是取了三个相等的时间间隔t200进行的呼叫次数的直方图统计结果：图4增量平稳性验证曲线02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4呼叫次数相应呼叫次数发生的概率02468101200.050.10.150.20.25呼叫次数相应呼叫次数发生的概率由于只需要相同时间内呼叫相同次数的概率相同，为了简化程序和计算量，在直方图统计中没有对第一个直方条进行修正，并不影响实验的结论，从图4中可以看到，三个相等的时间间隔呼叫次数的概率分布曲线基本重合，说明相同时间间隔内呼叫次数相同的概率基本相同，从而验证了增量平稳性。程序：clcclearcloseallp=5*10^(-6);M=3000;dt=0.003;T=1.8;loop=2000;fork=1:loopx=rand(M,T/dt);fori=1:Mforj=1:T/dtifx(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=(sum(x)~=0);m=[];m(1)=0;fori=1:T/dtm(i+1)=m(i)+y(i);endNt1(k)=m(201)-m(1);Nt2(k)=m(401)-m(201);Nt3(k)=m(601)-m(401);end[N1,index1]=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1));[N2,index2]=hist(Nt2,max(Nt2)-min(Nt2));[N3,index3]=hist(Nt3,max(Nt3)-min(Nt3));plot(index1,N1/loop,'r');holdon;plot(index2,N2/loop,'b');holdon;plot(index3,N3/loop,'g');holdon;5、（1）画出任意相邻两次呼叫间隔的直方图，和理论值进行对照。由理论可知，任意两次的呼叫间隔的概率分布函数为负指数分布：tetf)(，下面是-6105P,-3103t,M=3000,总时间为T=3，选取第二次和第一次呼叫的时间间隔得到的统计实验结果：图5呼叫时间间隔分布直方图从图5中可以看出，相邻两次呼叫间隔满足负指数分布，与理论相符。编程时，将时间间隔平均分在50个直方条中，在求理论值时，需要对负指数型概率密度函数在每个直方条中求积分，需要注意的是积分的区间。程序：clcclearcloseallp=5*10^(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=3;loop=3000;fork=1:loopx=rand(M,T/dt);00.20.40.60.811.21.41.61.8200.020.040.060.080.10.120.140.160.18时间间隔相应时间间隔发生的概率fori=1:Mforj=1:T/dtifx(i,j)px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=sum(x)~=0;tt=dt*find(y==1);%fori=1:length(tt)-1%b(i)=tt(i+1)-tt(i);%endb(k)=tt(2)-tt(1);c(k)=tt(4)-tt(3);end[N1,index1]=hist(b,50);dh=(max(b)-min(b))/100;stem(index1,N1/loop,'r');holdonfori=1:50t=(index1(i)-dh):0.001:(index1(i)+dh);l=a*exp(-a*t);q(i)=trapz(t,l);endplot(index1,q)Eb=sum(b)/length(b);Ec=sum(c)/length(c);Ebc=sum(b.*c)/length(b);Db=sum(b.*b)/length(b)-Eb^2;Dc=sum(c.*c)/length(c)-Ec^2;Covbc=Ebc-Eb*Ec;rov=Covbc/sqrt(Db)/sqrt(Dc)（2）验证其与其它相邻两次呼叫间隔随机变量的独立性可以再选取第四次和第三次呼叫的时间间隔来验证，要验证其独立性，我们可以求它们的相关系数，程序见上面，计算可以得到相关系数rov=0.0107，M=4000时，rov=0.0106，,当M增大时，rov减小，当M足够大时，rov将接近0，独立性得证，但是这是不严格的，如果要整个证明两个随机变量x、y的独立性，我们需要证明)y(p)x(p)y,x(p，从数值上来证明比较困难。