旋转倒立摆系统设计分析报告

旋转倒立摆控制系统建模、分析与设计李振(1.上海大学机电工程与自动化学院上海200072)摘要：本文介绍了单级旋转倒立摆系统的构成，并利用Lagrange方程建立了数学模型，根据倒立摆系统的数学模型在Matlab环境下设计了控制器，并进行仿真。设计了LQR状态跟随运动控制器。结果表明，LQR状态跟随器控制系统超调小，响应速度快，鲁棒性强。根据设定的Q和R，计算出LQR最优控制参数K。关键词：旋转倒立摆；状态反馈；最优控制策略LQR中图分类号：TG214ModelingAnalysisandDesignofRotaryInvertedPendulumControlSystemLIZhen(1.CollegeofMechatronicEngineeringandautomation,ShanghaiUniversity,Shanghai200072)Abstract：ThestructureandmathematicmodelofSingle-RotationalInvertedPendulum(RIP)ispresentedinthispaper.ThemathematicalmodelissetontheLanguageequation.AccordingtothemathematicalmodelofinvertedpendulumsystemcontrollerwasdesignedinMatlabenvironment,andcarryonthesimulation.LQRstatefollowingthemotioncontrollerisdesigned.TheresultsshowthattheLQRstatefollowercontrolsystemhassmallovershoot,fastresponseandstrongrobustness.AccordingtothesetofQandR,theLQRoptimalcontrolparameterKiscalculated.Keywords：RotationalInvertedPendulumState-feedbackControllerLQRcontroller0前言常见的倒立摆系统主要包括直线倒立摆、旋转型倒立摆和环型倒立摆。他们之间主要是机械结构的不同，原理上大同小异。各种倒立摆系统在建模方法、模型分析上十分类似，而其主要区别在于采取的控制理论不同。旋转倒立摆的摆杆旋臂是在竖直平面内旋转的，一般的结构如图1所示。图1旋转倒立摆的总体结构在本实验中，为了建模过程方便，对旋转倒立摆的结构进行了简化。利用现代控制理论的有关知识，对简化的旋转倒立摆系统建立状态空间模型，分析其能控及能观性并进行状态反馈控制的设计。1旋转倒立摆控制系统建模本试验仅对旋转倒立摆的简易模型进行设计与分析。假设旋臂仅在水平面内运动，忽略空气阻力及摩擦，得到简易旋转倒立摆的简化模型如图2所示。该模型描述了旋转倒立摆的运动过程。由于旋臂在电机的带动下旋转，摆杆随之摆动，通过对旋臂的旋转控制，保持摆杆在竖直平面内。图2旋转倒立摆的简化模型建模过程中，机械结构参数有：①摆杆的集中质量m②旋臂长度r③摆杆等效长度L。设摆杆偏离垂直向上的角度为α，旋臂转过的角度为θ。该系统的状态空间方程推导如下：将摆杆竖直面的运动在x与y方向上分解：𝑉𝑚=𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼̇)+𝐿𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼̇)(1)旋臂的速度：𝑉𝑀=𝑟𝜃̇(2)则有摆杆实际运动的速度分解为：𝑉𝑥=𝑟𝜃̇−𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼̇)(3)𝑉𝑦=−𝐿𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼̇)(4)系统的总势能为重力势能：𝐸𝑃=𝑚𝑔ℎ=𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼(5)系统总动能的表达式：𝐸𝑘=𝐸𝑘𝑀+𝐸𝑘𝑉𝑥+𝐸𝑘𝑉𝑦+𝐸𝑘𝑚(6)求摆杆的转动惯量：𝐼=∫𝑥2𝑑𝑚=𝑚𝐿∫𝑥2𝐿−ℎ−ℎ𝑑𝑥=13𝑚(𝐿2−3𝐿ℎ+3ℎ2)代入h=L，得𝐽𝑚=13𝑚𝐿2(7)则总动能为：𝐸𝑘=12𝐽𝑀𝜃2̇+12𝑚(𝑟𝜃̇−𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼̇))2+12𝑚(−𝐿𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼̇))2+12𝐽𝑚𝛼2̇(8)定义Lagrange算子La：𝐿𝑎=𝐸𝑘−𝐸𝑝=12𝐽𝑀𝜃2̇+23𝑚𝐿2𝛼̇2−𝑚𝐿𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼̇)(𝜃̇)+12𝑚𝑟2𝜃2̇−𝑚𝑔𝐿𝑐𝑜𝑠𝛼(9)由Lagrange方程：𝜕𝜕𝑡(𝜕𝐿𝑎𝜕𝜃̇)−𝜕𝐿𝑎𝜕𝜃=𝑇−𝐵𝑒𝑞𝜃̇(10)𝜕𝜕𝑡(𝜕𝐿𝑎𝜕𝛼̇)−𝜕𝐿𝑎𝜕𝛼=0(11)得：𝐽𝑀𝜃̈−𝑚𝐿𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼(𝛼̈)+𝑚𝐿𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼̇)2+𝑚𝑟𝜃̈=𝑇−𝐵𝑒𝑞𝜃̇(12)43𝑚𝐿2𝛼̈−𝑚𝐿𝑟𝜃̈𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛𝛼=0(13)近似认为α很小，对方程(10)、(11)进行线性化，即认为𝑠𝑖𝑛𝛼→𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛼→1，高次项(𝛼̇)2→0，得：(𝐽𝑀+𝑚𝑟2)𝜃̈−𝑚𝐿𝑟𝛼̈=𝑇−0(14)43𝑚𝐿2𝛼̈−𝑚𝐿𝑟𝜃̈−𝑚𝑔𝐿𝛼=0(15)其中电机输出力矩为：𝑇=mmgmgigmRKKVKK)((16)其中ηm、ηg为电机、减速器效率；Ki、Kg为电机力矩和减速比系数；Vm为电机电枢电压；Rm为电机电枢电阻；Km为电机反电势系数。整理上面的式子，可得如下状态空间：𝑥̇=𝐴𝑥+𝐵𝑢Y=Cx+Du其中𝑥=[𝜃𝜃̇𝛼𝛼̇]𝑌=[𝜃𝛼]𝑢=𝑉𝑚𝐴=[0100−4𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔2𝐾𝑚𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)−4𝐵𝑒𝑞4𝐽𝑀+𝑚𝑟23𝑚𝑔𝑟4𝐽𝑀+𝑚𝑟200001−3𝑟𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔2𝐾𝑚𝐿𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)−3𝑟𝐵𝑒𝑞𝐿(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)𝑔(𝐽𝑀+𝑚𝑟2)𝐿(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)0]𝐵=[04𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)03𝑟𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔𝐿𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)]𝐶=[10000010]𝐷=[00]即[𝜃̇𝜃̈𝛼̇𝛼̈]=[0100−4𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔2𝐾𝑚𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)−4𝐵𝑒𝑞4𝐽𝑀+𝑚𝑟23𝑚𝑔𝑟4𝐽𝑀+𝑚𝑟200001−3𝑟𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔2𝐾𝑚𝐿𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)−3𝑟𝐵𝑒𝑞𝐿(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)𝑔(𝐽𝑀+𝑚𝑟2)𝐿(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)0][𝜃𝜃̇𝛼𝛼̇]+[04𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)03𝑟𝜂𝑚𝜂𝑔𝐾𝑖𝐾𝑔𝐿𝑅𝑚(4𝐽𝑀+𝑚𝑟2)]𝑉𝑚(17)[𝜃𝛼]=[10000010][𝜃𝜃̇𝛼𝛼̇](18)系统建模完成。2系统的性能分析方程中的一些参数如下表：表1方程中的参数符号物理意义/单位数值L摆杆质心到转轴的距离/m0.165m摆杆质量/kg0.105r旋臂长度/m0.254JM旋臂的转动惯量/kg·m22.0×10-3g重力加速度/m·s-29.8Ki电机力矩系数/N·m·A-17.767×10-3Kg变速器齿轮比5:1Km反向电势系数/V·s·rad-17.767×10-3Rm直流电机电枢电阻/Ω2.6ηm直流电机效率/%69ηg变速器效率/%90Beq粘性阻尼系数N·s·m-14.0×10-3将以上数据代入状态空间，得[𝜃̇𝜃̈𝛼̇𝛼̈]=[0100−0.0975−1.083053.072200001−0.1126−1.250335.27320][𝜃𝜃̇𝛼𝛼̇]+[02.511302.8994]𝑉𝑚(19)2.1系统能控性分析a)能控性定义线性定常系统的状态方程为𝑥̇=𝐴𝑥+𝐵𝑢给定系统一个初始状态x(t0)，如果在t1t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在容许控制u(t)，使x(t1)=0，则称系统状态在t0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。b)能控性判据线性定常系统为状态能控的充分必要条件是以下的矩阵满秩：𝑄𝐶=[𝐵𝐴𝐵𝐴2𝐵𝐴3𝐵…𝐴𝑛−1𝐵]Rank𝑄𝐶=𝑛轶判据本身很简单，因此是判断能控性最为常用的方法。c)系统能控性判断由系统能控性判据（轶判据），计算能控性矩阵为𝑄𝑐=[𝐵𝐴𝐵𝐴2𝐵𝐴3𝐵]=[02.5113−2.7197156.57832.5113−2.7197156.5783−335.949602.8994−3.1400105.38922.8994−3.1400105.3892−306.2266](20)能控性矩阵的秩rankQc=rankA=4，因此系统能控。2.1系统能观性分析a)能观性定义线性定常系统方程为{𝑥̇=𝐴𝑥+𝐵𝑢𝑦=𝐶𝑥如果在有限时间区间[t0,t1](t1t0)内，通过观测y(t)，能够惟一地确定系统的初始状态x(t0)，称系统状态在t0是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。b)能观性判据线性定长系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩：rankQ0=nQ0=[CCA⋮CAn−1]nm×n轶判据本身很简单，因此是判断能观性最为常用的方法。c)系统能观性判断由系统能观性判据（轶判据），计算能控观矩阵为𝑄0=[𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2𝐶𝐴3]=[1000001001000001−0.0975−1.083053.07220−0.1126−1.250335.273200.10561.0753−57.475653.07220.12191.2415−66.385235.2732](21)能观性矩阵的秩rankQ0=rankA=4，因此系统能观。2.1系统稳定性分析a)李雅普诺夫判据第一法线性定常系统方程为{𝑥̇=𝐴𝑥+𝐵𝑢𝑦=𝐶𝑥的系统矩阵A的特征根：A)全部为负实部根，则实际系统渐进稳定，在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型渐进稳定，线性化前的非线性化系统也渐进稳定。B)只要有一个为正实部根，则实际系统不稳定，在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型不稳定，线性化前的非线性系统也不稳定。C)只要有一个实部为0（纯虚根），其余为负实部，则在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性有影响，不能用线性化模型来判断实际系统的稳定性，必须采用实际系统的非线性模型来判断。b)系统稳定性判断由|𝜆·𝐼−𝐴|=0求得系统的特征根为：𝜆1=4.9007,𝜆2=0.9274,𝜆3=−0.0817,𝜆4=−6.8294其中特征根𝜆1,𝜆2具有正实部，因此系统不稳定。3状态反馈矩阵设计采用极点配置法设计状态反馈矩阵K，对系统进行状态反馈设计。其中期望的闭环极点可以根据最优线性二次型方法得到。3.1线性二次型（LQR）方法最优线性二次型控制的原理为，根据现代控制理论，在系统的状态空间方程𝑥̇=𝐴𝑥+𝐵𝑢中，设状态反馈控制律的形式为：𝑢(𝑡)=𝐾×𝑥(𝑡)，其中K为最佳控制向量矩阵，使线性二次型最优性能指标J达到最小值。(22)旋转倒立摆的控制中，LQR算法的控制任务是使价值函数J最小。𝐽=∫[𝑥𝑇𝑄𝐶𝑥+𝑢𝑇𝑅𝐶𝑢]𝑑𝑡∞0(23)由于这里只有一个变量矩阵，因此可以把上面的函数简化为：(24)其中u不受限制，Q是半正定常