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1.4无穷小与无穷大1.4.1无穷小1.无穷小量的定义定义:如果x→x0(或x→∞)时,函数f(x)的极限为零,那么把f(x)叫做当x→x0(或x→∞)时的无穷小量,简称无穷小。例如:因为0)1(lim1xx,所以函数x-1是x→1时的无穷小。因为01limxx,所以函数x1是当x→1时的无穷小。因为011limxx,所以函数x11是当x→-∞时的无穷小。以零为极限的数列{xn},称为当n→∞时的无穷小,n1,n32都是n→∞时的无穷小。注:⑴不能笼统的说某函数是无穷小,说一个函数f(x)是无穷小,必须指明自变量的变化趋向。⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小,因为这个常数在x→x0(或x→∞)时,极限仍为常数本身,并不是零。⑶常数中只有零可以看作是无穷小,因为零在x→x0(或x→∞)时,极限是零。2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中,无穷小有以下性质:⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小(无穷多个无穷小之和不一定是无穷小)。⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。(常数与无穷小的乘积仍是无穷小)。⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。例1.求xxxsinlim解:∵1sinx,是有界函数,而01limxx∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。∴xxxsinlim=03.函数极限与无穷小的关系定理:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是该函数的极限。4.无穷小的比较例:当x→0时,x,3x,x2,sinx,xx1sin2都是无穷小。观察各极限:0320limxxxx2比3x要快得多1sinlim0xxxsinx与x大致相同xxxxxxxsin1sinlimlim020sinx比x2慢的多xxxxxx1sin1sinlimlim0220不存在不可比极限不同,反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。得到以下结论:设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小⑴如果lim=0,则称β是比α高阶的无穷小⑵如果lim=∞,则称β是比α低阶的无穷小⑶如果lim=k(k≠0),则称β与α是同阶的无穷小⑷如果lim=1,则称β与α是等价无穷小,记为α~β。例2.比较当x→0时,无穷小xx111与x2阶数的高低。解:因为111)1()1()1)(1(1111limlimlimlim02202020xxxxxxxxxxxxxxx所以xx111~x2例3.当x→1时,无穷小1-x与1-x3是否同阶,是否等价?解:31)1)(1(1112131limlimxxxxxxxx故同阶但不等价。常用的等价无穷小:当x→0时,sinx~x;arcsinx~x;tanx~x;arctanx~x;1-cosx~221x,ln(1+x)~x;ex-1~x;(1+x)a~1-ax1.4.2无穷大1.无穷大量的定义如果当x→x0(或x→∞)时,函数f(x)的绝对值无限增大,那么函数f(x)叫做当x→x0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大。注:⑴说一个函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向。如函数x1是当x→0时的无穷大,当x→∞时,它就不是无穷大,而是无穷小了。⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大,因为常数在x→x0(或x→∞)时极限为常数本身,并不是无穷大。2.无穷小与无穷大的关系定理:在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大,则)(1xf为无穷小;反之,若f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则)(1xf为无穷大。例4.求453221limxxxx解:当x→1时,分母x2-5x+4→0,因此不能直接使用商的极限法则,但f(x)的倒数的极限03245)(1211limlimxxxxfxx由无穷大与无穷小的关系可得)(lim1xfx
本文标题:无穷小与无穷大
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