根与系数的关系及应用(学案)

根与系数的关系及应用知识点：1、一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0(a≠0)时，如Δ≥0，有下列公式：.acxxabxx)2(a2ac4bbx)1(212122,1，；2、当ax2+bx+c=0(a≠0)时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acxxabxx2121，；Δ=b2-4ac分析，（1）两根互为相反数ab=0且Δ≥0b=0且Δ≥0；（2）两根互为倒数ac=1且Δ≥0a=c且Δ≥0；（3）只有一个零根ac=0且ab≠0c=0且b≠0；（4）有两个零根ac=0且ab=0c=0且b=0；（5）至少有一个零根ac=0c=0；（6）两根异号ac＜0a、c异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值ac＜0且ab＞0a、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值ac＜0且ab＜0a、c异号且a、b同号；（9）有两个正根ac＞0，ab＞0且Δ≥0a、c同号，a、b异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac＞0，ab＜0且Δ≥0a、c同号，a、b同号且Δ≥0.反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．利用一元二次方程根与系数的关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．典型例题：1．已知一个根，求另一个根例1方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．变式练习.如果是方程的一个根，求的值，并求出方程另一xxkxkk2502个根。3．求代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧．例3已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：变式练习：设方程的两根为，，不解方程，求下列各式的值：4730212xxxx（1）（x1-3）（x2-3）（2）（x12-3）（x22-3）2．求作新的方程例2,求作一个二次方程，使它的两根为1和2。变式练习：求作以方程的两根的负倒数为根的一个一元二次方程。3102xx4、求系数的值或取值范围例4.已知关于x的一元二次方程：xmxm22224084()的两个实数根的平方和比这两根的积大，求：实数m的值。变式练习1.设关于的方程xxmxm22240（1）证明：不论m为何实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）m为何实数时，两根之差的绝对值等于4。式练习2.已知，是关于的一元二次方程的两非零xxxxmxm12224410()实数根，问x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。巩固练习一、选择题1.关于x的一元二次方程()axxa11022的一个根是0，则a的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.122.如果a是一元二次方程xxm230的一个根，－a是一元二次方程xxm230的一个根，那么a的值等于（）A.1或2B.0或－3C.－1或－2D.0或33.若xx12、是方程xx2350的两个根，则()()xx1211的值为（）A.－7B.－1C.129D.1294.方程xxxx22360630与所有根的乘积等于（）A.－18B.18C.－3D.35.如果关于x的方程2702xxm的两个实数根互为倒数，那么m的值为（）A.12B.12C.2D.－26.如果关于x的方程xpx210的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是（）A.1B.±1C.2D.±27.若一元二次方程26302xx的两根为、，那么()2的值是（）A.15B.－3C.3D.以上答案都不对8.已知、是方程xx2310的两个实数根，则()()22的值是（）A.12B.132C.3D.329.若xx12和是方程23102xx的两个实数根，则1112xx的值等于（）A.13B.13C.3D.3三、解答题1.求方程32402xx两根的差的平方。2.已知xx12、是方程xkx240的两根，且||xx125，求k的值。3.求作一个方程，使它的两根分别为123，。4.已知：关于x的方程xmxm222130()。（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程的两实数根分别为xx12、，当()()xxxx12212120时，求m的值。