格林公式的应用

一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积§9.7格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域区域的边界曲线的方向当观察者沿区域D的边界曲线L行走时如果左手在区域D内则行走方向是L的正向单连通区域复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域LDQdyPdxdxdyyPxQ)(定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线——格林公式应注意的问题:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向提示:格林公式:用格林公式计算区域的面积LDQdyPdxdxdyyPxQ)(设区域D的边界曲线为L则DLdxdyxdyydx2或LDydxxdydxdyA21在格林公式中令PyQx则有LydxxdyA21DLdxdyxdyydx2或LDydxxdydxdyA21格林公式:用格林公式计算区域的面积例1求椭圆xacosqybsinq所围成图形的面积ALDQdyPdxdxdyyPxQ)(设区域D的边界曲线为L则LydxxdyA21解设L是由椭圆曲线则LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021提示:因此由格林公式有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(格林公式:用格林公式计算二重积分例2计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域解要使2yeyPxQ只需P02yxeQ令P02yxeQ则2yeyPxQ因此由格林公式有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(格林公式:用格林公式计算二重积分例2计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域解BOABOAyDydyxedxdye22)1(2111022edxxedyxexOAy)1(2111022edxxedyxexOAy)1(2111022edxxedyxexOAyBOABOAyDydyxedxdye22令P02yxeQ则2yeyPxQ用格林公式求闭曲线积分令P2xyQx2则证因此由格林公式有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(格林公式:例3设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明Ldyxxydx022022xxyPxQ0022dxdydyxxydxDL0022dxdydyxxydxDL提示:解yPyxxyxQ22222)(022Lyxydxxdy例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向当(00)D时由格林公式得记L所围成的闭区域为D这里22yxyP22yxxQ当x2y20时有在D内取一圆周l:x2y2r2(r0)例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向当(00)D时解记L所围成的闭区域为D记L及l所围成的复连通区域为D1应用格林公式得0)(122dxdyyPxQyxydxxdyDlL其中l的方向取顺时针方向于是lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数21LLQdyPdxQdyPdx与路径无关否则说与路径有关如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式恒成立就说曲线积分LQdyPdx在G内二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线而且有021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任在G内恒成立xQyP闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式数则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关(或沿G内任意设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关定理2(曲线积分与路径无关的判断方法)定理证明意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任应用定理2应注意的问题(1)区域G是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立.0xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关讨论:设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？022Lyxydxxdy提示:则ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222.0xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关解这里P2xyQx2选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线11102dy因为xxQyP2所以积分Ldyxxydx22与路径无关例5计算Ldyxxydx22其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧三、二元函数的全微分求积表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy原函数如果函数u(xy)满足du(xy)P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立xQyP定理3求原函数的公式),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxuyyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0解这里因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有yPyxxyxQ22222)(22yxyP22yxxQ所以在右半平面内22yxydxxdy是某个函数的全微分),()0,1(22),(yxyxydxxdyyxu取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线yyxxdy0220xyarctanyyxxdy0220xyarctan半平面内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数例6验证:22yxydxxdy在右则所求函数为例7验证:在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数这里Pxy2Qx2y解因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有yPxyxQ2所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分),()0,0(22),(yxydyxdxxyyxu202202yxydyxy取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为202202yxydyxy