椭圆的几何性质教学案例

椭圆的几何性质教学案例一、教案背景1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：3课时5.课前准备：（1）学生预习本节内容，了解椭圆的范围、对称性和顶点。（2）教师准备课件。二、教材分析《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。2.渗透数形结合、类比等数学思想。3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。在思考、探索和交流的过程中得到椭圆的几何性质，充分体现学生的主体地位。3.教学用具：电脑、多媒体。六、授课类型新授课七、教学过程（一）复习：（1）椭圆的定义（2）椭圆的标准方程（3）椭圆中cba,,三者之间的关系（二）新授：问题1：观察椭圆的标准方程)0(12222babyax，它有什么特点？生：椭圆方程是关于yx、的二元二次方程；方程左边是平方和的形式，右边是常数1；方程中2x和2y的系数不相等。设计意图：①为利用方程研究椭圆的几何性质做准备。②让学生感受椭圆方程结构的和谐美。（1）椭圆的范围问题2：自主探究：结合椭圆标准方程的特点，请大家思考，在方程)0(12222babyax中，如何确定yx、的范围？生1：由12222byax可得112222byax，即22ax，所以axa。同理可得byb。生2：还可以把12222byax看成1cossin22，利用三角函数的有界性来考虑byax、的范围。生3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122ax，从而axa。同理可得y的范围。设计意图：①由于问题1的设置，学生的思维在这儿很活跃，除了教材中的方法外，很多同学都能想到其它方法，训练了学生的发散思维。②强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。问题3：由x的范围、y的范围，我们能进一步说明椭圆所处的范围吗？生：椭圆位于直线ax和by所围成的矩形内。设计意图：结合多媒体展示椭圆的范围，让学生直观感知，体现数形结合思想。（多媒体展示）练习1：讨论下列椭圆的范围：①13422yx；②1422yx。设计意图：椭圆范围的简单应用。（2）椭圆的对称性：问题4：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程研究椭圆的对称性。生：在方程12222byax中，把x换成x，方程不变……问题5：方程不变，说明什么问题，如何用语言表述出来？生：当点),(yxP在椭圆上，点),(yxP关于y轴的对称点),(yxQ也在椭圆上。而),(yxP是曲线上任意一点，所以椭圆关于y轴对称。同理可得，椭圆关于x轴对称，关于原点对称。(学生鼓掌！)设计意图：①训练学生语言表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。②从对称性的本质入手，探究椭圆的对称性。③多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。多媒体展示椭圆的对称性后总结：对于椭圆)0(12222babyax来说，坐标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。（多媒体展示）练习2：探究曲线22yx的对称性，并画出曲线的图象。设计意图：①让学生接触不同形式的曲线，检验对曲线对称性的理解。②让学生感受利用对称性可简化作图过程，感悟知识的应用。（3）椭圆的顶点问题6：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标。生：令0x，得by，说明点),0(1bB，),0(2bB是椭圆与y轴的两个交点。同理，点)0,(1aA，)0,(2aA是椭圆与x轴的两个交点。总结并给出顶点的定义（强调是与椭圆与对称轴的交点）。结合多媒体展示的椭圆图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中ba,的几何意义和数量关系。（多媒体展示）练习3：如图，已知椭圆的长轴21AA和短轴21BB，怎样确定椭圆焦点的位置？设计意图：①深化对椭圆概念的理解。②巩固椭圆长轴、短轴的概念。③考察椭圆中cba,,的几何意义。④体会数形结合的数学思想。（三）（多媒体展示）例题精讲：例1.求椭圆400251622yx的长轴长、短轴长、焦距、焦点、顶点、外切矩形的面积。变式：若椭圆方程变为400162522yx呢？设计意图：①巩固学生对研究方法的掌握。②学会运用椭圆的几何性质。③培养学生用类比的思想解决问题的能力。④体会椭圆的性质与坐标系的选择无关。例2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，焦距为2。求椭圆的方程。变式：如果去掉“焦点在x轴上”呢？设计意图：①运用几何性质、待定系数法求椭圆的方程。②体会分类讨论的数学思想。（四）小结：1.知识：多媒体展示有关椭圆性质的表格，学生口答。2.数学思想：本节课运用了数形结合和类比的数学思想研究椭圆的几何性质。3.数学方法：掌握利用曲线方程研究曲线性质的方法—解析法。（五）作业布置：1.（1）画出下列椭圆的图象：①1422yx；②13422yx。（2）观察椭圆的图象，形状有什么变化？设计意图：①考察学生是否能应用几何性质，快速画出图形。②引导学生自主研究椭圆的另一条性质——离心率。2.当椭圆的标准方程为)0(12222babxay时，结论如何？设计意图：培养学生用类比思想解决问题的能力。八、教学反思1.教学内容：问题方面：在问题1的基础上，问题2活跃了学生的思路，训练了学生的发散思维；问题5对于学生来说有难度，用了较长时间思考、讨论。练习方面：练习3让学生措手不及，cba,,几何意义的出现让学生感到惊喜。练习1及例题的变式比较成功的为作业2埋下伏笔。2.教学思路：问题1的设置体现了利用方程研究曲线的教学思路，在三个性质的研究中，坚持从椭圆方程出发，研究椭圆的几何性质，培养学生利用方程研究曲线性质的能力。3.教学方法：本节课通过设置问题，给学生足够的时间独立思考、合作交流，探究椭圆的几何性质，使他们经历数学发现的过程，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力。4.运用多媒体的优势：学生从“数”的角度研讨椭圆的几何性质，教师用多媒体作相应展示，让学生感受“数”和“形”的对立统一，渗透运动变化、相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点。【参考文献】［1］霍文明.2006年高中数学全国优质课比赛教案：河北—椭圆的简单几何性质［DB/OL］.豆丁网,2012-3.［2］单墫主编.配苏教版普通高中课程标准实验教科书高中数学教学参考书·数学（选修1-1）［M］.南京：江苏教育出版社，2008.［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2011.