椭圆的几何性质教案

椭圆的几何性质教学目标：（1）知识与技能目标1．掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质．2．能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，画椭圆图形．（2）过程与方法目标培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。教学重点：对椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质的探索．最后给出列表、描点画椭圆的简便方法．教学过程：一、复习提问师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？生：当焦点在x轴上时方程为：22221xyab当焦点在y轴上时方程为：22221yxab二、课题引入“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、截距进行讨论．还应明确影响椭圆扁平程度的重要参数——离心率．三、探索新知（一）椭圆的基本性质（1）、范围1）、观察法：观察图1，看出横坐标的范围_[-a,a]__,看出纵坐标的范围_[-b,b]；2）代数法（利用方程）：x的范围是__[-a,a]___同理，y的范围是__[-b,b]_(2)对称性1）、观察法：观察图1，椭圆可以对折吗？绕中心旋转180度后可以与原图重合吗？答：可以对折；绕中心旋转180度后可以与原图重合。2）、代数法（利用方程）:把x=-x,y=-y代入方程，方程是否改变?因此椭圆既是中心_对称图形又是_轴___对称图形。椭圆的对称轴有2_条，分别是_x轴和y轴，对称中心是_原点.（3）、顶点因此，椭圆与它对称轴的交点叫椭圆的顶点，如图1线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，他们的长度分别为_2a，2b__，而__OA1或OA2,OB1或OB2_叫椭圆的长半轴长和短半轴长。864224y1510551015x(0,b)(0,-b)(a,0)A(-a.0)A2A1B2B2图1.4、离心率把一个圆压扁就是椭圆这种说法是否正确？如何衡量椭圆的扁平程度呢？请观察动画回答问题：（1）、(ab0)保持a大小不变，改变b的大小，发现b越接近a，椭圆越__圆_____（圆或扁）（2）、(ac0)保持a大小不变，改变c的大小，发现c越接近a，椭圆越__扁_____（圆或扁）因为从椭圆的定义，a,c是最原始的量，更能刻画椭圆的性质，所以我们把称为椭圆的离心率，用e表示，即___cea__,其中e的范围是___(0,1)___，e越接近1，椭圆越_扁（圆或扁）;e越接近0，椭圆越__圆__（圆或扁）。（3）、你能用三角函数的知识来解析（2）的结论吗？小结：a,b,c的值会改变椭圆性质吗？请根据以上的特例的性质概括椭圆的性质方程22221xyab22221yxab长轴长2a2a短轴长2b2b焦点坐标(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)a,b,c关系222abc222abc顶点坐标在x轴上（-a,0）(a,0)在x轴上（-b,0）(b,0)在y轴上（0,-b）(0,b)在y轴上（0,-a）(0,a)离心率ceacea对称中心原点原点对称轴X轴，Y轴X轴，Y轴（二）典型例题例1．求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴、短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形．2212516xy解：原椭圆可以化为得：225,43abcab那么那么：长轴2a=10短轴2b=835cea焦点：（-3，0）和（3，0）定点坐标：在x轴上（-5,0）(5,0)在y轴上（0,-4）(0,4)如图：864224y1510551015xDCAB1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图．（1）226464xy（2）22416xy2．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？（1）8x2＋7y2＝56与8x2＋y2＝56（2）9x2＋4y2＝36与8x2＋4y2＝36例2．求长轴的长为16，离心率为12，焦点在y轴上的椭圆的标准方程．解：由于：2a=16,得：a=8;由于：128ccea，得：c=4;又因为：222abc，222bac=64-16=48；所以：2216448yx。练习：1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图．（1）226464xy（2）22416xy2．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？（1）8x2＋7y2＝56与8x2＋y2＝56（2）9x2＋4y2＝36与8x2＋4y2＝363．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a＝9，，焦点在x轴上（2）c＝4，，焦点在y轴上作业、求过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍．的椭圆的标准方程