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习题选解1第一章随机事件及其概率1.2设A、B、C表示三个随机事件,试将下列事件用A、B、C表示出来:(1)仅A发生;(2)A、B、C都发生;(3)A、B、C都不发生;(4)A、B、C不都发生;(5)A不发生,且B、C中至少有一事件发生;(6)A、B、C中至少有一事件发生;(7)A、B、C中恰有一事件发生;(8)A、B、C中至少有二事件发生;(9)A、B、C中最多有一事件发生。解:(1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)()ABCABC=;(6)ABCABC=;(7)ABCABCABC++;(8)ABCABCABCABC+++或者ABBCAC;(9)ABCABCABCABC+++或者ABBCAC或者ABBCAC1.4电话号码由7个数字组成,每个数字可以是0,1,2,9中的任一个数字(但第一个数字不能是0),求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。解:基本事件的总数(即7位电话号码的总数)为116910()NCC=,而由完全不同的数字组成的电话号码的个数为1699MCA=,于是所求概率16991169100.0605()CApCC=?1.5把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本放在一起的概率。解:10本书共有1010A种排法。指定的三本放在一起有33A种排法,把这三本看作一个整体与剩下的7本书又有88A种排法,因此所求的概率383810100.0667AApA=?1.7在桥牌比赛中,把52张牌任意的分发给东、南、西、北四家(每家13张牌),求北家13张牌中:(1)恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率;(2)恰有大牌A、K、Q、J各一张,其余为小牌的概率。习题选解2解:基本事件的总数1352NC=。(1)事件A(北家的13张牌中恰有5张黑桃,4张红心,3张方块,1张草花)包含的基本事件数5431113131313MCCCC=,于是,所求的概率5431131313131352()0.0054CCCCPAC=?。(2)事件B(北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张,其余为小牌)包含的基本事件数1492436()MCC=,于是,所求的概率1494361352()()0.0380CCPBC=?。1.9同时掷四个均匀的骰子,求下列事件的概率:(1)A——四个骰子的点数各不相同;(2)B——恰有两个骰子的点数相同;(3)C——四个骰子的点数两两相同,但两对的点数不同;(4)D——恰有三个骰子的点数相同;(5)E——四个骰子的点数都相同。解:同时投掷四个均匀的骰子,出现的点数共有146()C种。(1)事件A包含的事件个数416MA=,于是46146()0.2778()APAC=?;(2)事件B包含的事件个数1222645MCCA=,于是122645146()0.5556()CCAPBC=?;(3)事件C包含的事件个数22364MCC=,于是2264146()0.0694()CCPCC=?;(4)事件D包含的事件个数1314645MCCC=,于是131645146()0.0926()CCCPDC=?;(5)事件E包含的事件个数156MC=,于是16146()0.0046()CPEC=?1.13某工厂生产的一批产品共100个,其中有5个次品。从这批产品中任取一半来检查,求发现次品不多于1个的概率。分析:设事件A表示检查时发现次品不多于1个,则可以分解为两个互不相容事件的并:01AAA=+,其中事件0A表示检查时没有发现次品,事件1A表示检查时发现1个次品。由此不难利用概率加法定理求解。习题选解3解:从这批产品中任取一半(即50个产品)来检查,基本事件的总数50100NC=。事件0A,1A包含的基本事件数分别是0500595MCC=,1491595MCC=。按公式(1.3)得050595050100()0.0281CCPAC=?,149595150100()0.1529CCPAC=?。于是,按概率加法公式(1.11)得所求概率0101()()()()0.02810.15290.181PAPAAPAPA=+=+?=。1.19在1~100共一百个数中任取一个数,求这个数能被2或3或5整除的概率。解:设事件1A表示该数能被2整除;2A表示该数能被3整除;3A表示该数能被5整除,则123123121323123()()()()()()()()PAAAPAPAPAPAAPAAPAAPAAA=++---+503320161063740.74100100100100100100100100=++---+==1.23猎人在距离100m处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离变为150m;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200m。假定击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率。分析:设事件A表示猎人击中动物,事件iB表示第i次射击时击中(1,2,3i=),则A可以分解如下:112123ABBBBBB=++。在计算得事件23BB及的条件概率后,就不难利用概率乘法定理与概率加法定理求解。解:因为第i次击中的概率ip与距离id成反比,所以设,1,2,3iikpid==,其中k为比例常数。已知111100,()0.6dpPB===,代入上式得60k=,所以有60,1,2,3iipid==。因为在第一次未击中的条件下才进行第二次射击,在第一次、第二次都未击中的条件下才进行第三次射击,所以上述概率2p及3p都是条件概率,即21260(|)0.4150PBBp===,312360(|)0.3200PBBBp===。于是,按概率乘法公式(1.16)及(1.18)得12121()()(|)(10.6)0.40.16PBBPBPBB==-?123121312()()(|)(|)(10.6)(10.4)0.30.072PBBBPBPBBPBBB==-??。最后,按概率加法公式(1.13)得所求概率112123()()()()0.60.160.0720.832PAPBPBBPBBB=++=++=习题选解41.25两台车床加工同样多的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,求任意取出的零件时合格品的概率。解:设事件A表示取出的零件是合格品;事件iB(1,2i=)表示取出的零件是第i台车床加工的零件。由全概率公式:112221()()(|)()(|)(10.03)(10.02)0.973333PAPBPABPBPAB=+=?+?=1.27试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的。任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8,求:(1)考生选出正确答案的概率;(2)已知某考生所选答案是正确的,则他确实会解这道题的概率。分析:设事件B表示考生会解这道题,则事件B表示考生不会解这道题。又设事件A表示考生选出正确答案,则A可以分解如下:AABAB=+。(1)利用全概率公式即可求得概率()PA;(2)已知事件A发生,可以利用贝叶斯公式求条件概率(|)PBA。解:(1)由题意知:()0.8PB=,()10.80.2PB=-=;(|)1PAB=,1(|)0.254PAB==。于是,按全概率公式(1.20)得所求概率()()(|)()(|)0.810.20.250.85PAPBPABPBPAB=+=??(2)按贝叶斯公式(1.21)得所求概率()(|)0.81(|)0.941()0.85PBPABPBAPA´==?1.28在习题1.25中,如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率。解:由贝叶斯公式:22210.02()(|)3(|)0.2497()10.9733PBPABPBAPA´==?-1.36电灯泡使用时数在1000h以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000h以后最多只有一个坏了的概率。解:设0A表示一只也没有坏,1A表示只坏了一只,则31201013()()()0.20.80.20.0080.0960.104PAAPAPAC习题选解51.38射击运动中,一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4,得9环的概率为0.3,得8环的概率为0.2,求该运动员在五次独立射击中得到不少于48环的概率。分析:设事件A表示该运动员在5次独立射击中得到不少于48环,则A可以分解为下列事件的并:1234AAAAA=+++,其中1A——5次都得到10环,共得50环;2A——5次中有4次得到10环,1次得到9环,共得49环;3A——5次中有4次得到10环,1次得到8环,共得48环;4A——5次中有3次得到10环,2次得到9环,共得48环。我们可以先利用类似于推导二项概率公式的方法计算概率(),1,2,3,4;iPAi=再利用概率加法定理求解。解:已知每次射击得10环、9环、8环的概率分别是100.4p=,90.3p=,80.2p=,则按概率乘法公式(1.19)与概率加法定理得51()0.40.01024PA==;44125()0.40.30.0384PAC=创=;44135()0.40.20.0256PAC=创=;33245()0.40.30.0576PAC=创=。于是,按概率加法公式(1.13)得所求概率1234()()()()()0.010240.03840.02560.05760.132PAPAPAPAPA=+++=+++?
本文标题:概率论_第一章_习题
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