概率论与数理统计(第三版)-第4章

《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—1§4.1总体与样总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。个体：总体中的每个元素为个1总体与样本样本例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。简单随机样本：设X是具有分布函数F的随机变量，若1,nXX是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称1,nXX为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值1,nxx称为样本值。注：简单随机样本的获取是不易的注(1)样本具有二重性:1212,,,,nnXXXxx抽样前，它是一组随机变量，用表示抽样后，它是一组观测值，用x表示(2)样本选择方式:有放回抽样特别是，当样本容量总体个数时，无放回近似看作有放回有简单随机样本(s.r.s)的两个特点：具（1）代表性：组成样本的每一个个体与总体同分布（2）独立性：组成样本的个体间相互独立点的注意:样本是一组独立且与总体同分布的随机变量.例如检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则样本总体这批灯泡(有限总体)个体这批灯泡中的每一只样本抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量100样本观测值x1,x2,…,x1001211(),(,,,)(,,)()nnniiXFxXXXFxxFx设总体的分布函数为则样本的联合分布函数为称为样本分布:1）对总体为连续型随机变量成若设X的概率密度为f，则1,,nXX的联合概率密度为：样本的每个个体与总体同分11(,,)()nniifxxfx布),(有限总体无限总体《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—22）对总体为离散型随机变量若设X的概率分布为p(x)=P﹛X=x﹜,则样本的概率分布为：111221(,,){,,,,}()nnnniipxxPXxXxXxpx例1.书P121例4.12122122111(,,)exp{()}2211()exp{()}22nniinniifxxxxx例2.书P122例4.211221{,,,,}()(1)nnnsnsnniiiPXxXxXxpXxpp例3.书P122例4.31211221112{,,,,}()!!!!kniiiinnnnnkkkkknPXiXiXiPXxeeiiii§4.2统计量书P123定义4.3i12nnn22111iiinnni1i1i1nXμ222211212nnσi11,,[1]X[2](X)[3](XX)[4]()[5]XXσ[6]2XX...XnXXX2例、设是来自总体N(,)的简单随机样本,其中已知未知，则（）不是统计量答案:[4],[5]例2.书P123例4.4常用统计量：1220122122201(1)12()1()11niiniiniiXXnSXXnSXXnSnSSn样本均值（）样本方差修正样本方差修正样本方差为样本方差显然《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—321111(3)()11(4)(1,2,)1(5)()(1,2,)1(6)niinkkiinkkiiSXXnAXinBXXikn样本标准差样本原点矩，k1样本中心矩，顺序统计量（书P124)§4.3常用的统计分布一.分位数上侧分位数：书P126定义4.4{}PXF双侧分位数：书P127定义4.52{}()12PXTFTTF即xy0y=f(x)22TT《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—4例2.书P127例4.6上侧分位数：0.050.05{)10.050.951.645PXuu双侧分位数：0.0250.0250.025{)0.05{)10.0250.9751.96PXuPXuu2二.分布书P128定义4.6X1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则221~()niiXXn性质(1)2分布具有可加性,即X,Y独立,X~2(m),Y~2(n),则2~()XYmn2(2)(),,2nEXnDXn若X则0.051.6450.0250.0251.961.96《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—5分布的上侧分位数例1.设X~(10),P(Xλ1)=0.025,P(Xλ2)=0.05,求λ1,λ2.三.F分布书P130定义4.7设随机变量21~(),Xn随机变量22~(),Yn且它们相互独立,则称随机变量12//XnYnF的分布为自由度是12(,)nn的F分布。记作12~(,)FFnn12211~(,),~(,)XFnnFnnX性质：若则F分布的密度曲线F分布的上侧分位数设X~12(,)Fnn,对于给定α(0α1),若P(X12(,)Fnn)=α,则称12(,)Fnn为F分布的上侧α分位数.上侧分位数的计算(1)若P(Fλ)=α,则12(,)Fnn0.0250.025~(5,10),0.05,(5,10)4.24,~(5,10),0.025,(5,10)4.24,FFFFFF若若112210.950.9750.050.0251(2)(,)(,)11(5,10),(5,10)(10,5)(10,5)FnnFnnFFFFXf(x)12(,)Fnn《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—6四.t分布书P131定义4.8设随机变量~(0,1)XN,随机变量Y2~()n,且它们互相独立,则称随机变量/YnTX的分布为自由度是n的t分布,记作t分布的密度曲线:特点关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.t分布的上侧分位数0.050.025(8)1.86,(8)2.306ttXf(x)()tn()tnXf(x)《概率论与数理统计》第四章《数理统计的基础知识》4—7§4.1抽样分布一.正态总体的抽样分布书P133定理4.1设12,,,nXXX是来自总体2~(,)XN的s.r.s,2,XS分别是样本均值和样本方差,则222222(1)~(,),~(0,1)/(1)(1)(2)~(1);(3)XXNNnnnSnnXS与相互独立。由此可得~(1)/XtnSn书P133定理4.2书P133定理4.3设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为2212,;,.XSYS122212122211122222121212()()(1)~(0,1)/(2)~(1,1)/()(3)~(2)11XYUNnnSFFnnSXYtnnSnn则二.一般总体的抽样分布的极限分布书P136定理4.4~(0,1)()/~(0,1)()/nnXUNnnXNnSn记记T本章要求：1总体、个体、样本和统计量的概念，掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。2了解分布、t分布、F分布的定义，会查表求分位数。3掌握正态总体的某些统计量的分布。