概率论习题五答案

习题五1.设抽样得到样本观测值为：38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.6计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。10__110__2222110__2221__2211:(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5;101011()[(38.240.5)(40.040.5)(40.640.5)]2.1587;991()2.15874.66;91()10iiiiiiixxsxxsxxxx解102194.194.10iS2.设抽样得到100个样本观测值如下：观测值ix123456频数in15212520127计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。解：由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：6___16___222216___22111(11522132542051267)3.14;10010011()[(13.14)15(63.14)7]2.1216;9999199()2.12162.1004.100100iiiiiiiiixxnsxxnxxn3.略4.从总体中抽取容量为n的样本1,,nXX，设c为任意常数，k为任意正数，作变换(),1,2,,.iiYkXcin证明：（1）;YXck（2）222;yxSSk其中X及2xS分别是1,,nXX的样本均值及样本方差；Y及2yS分别是1,,nYY的样本均值及样本方差。证明（1）11,niiXXn由()iiYkXc得iiYXck11111()nniiiiYYXcYnccnkknnk（2）22211222221122211()11()nnyiiiinniixiiyxSYYkXckXkcnnkXkXkXXkSnnSSk5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为1n及2n，设两组的样本均值分别为1X及2X，样本方差分别为21S及22S，把这两组样本合并为一组容量为12nn的联合样本。证明：（1）.联合样本的样本均值112212nXnXXnn；（2）.联合样本的样本方差2221212112221212121111nnXXnSnSSnnnnnn证明：（1）1112221211221212,umumumumSnXSnXSSnXnXXnnnn（2）1212221221112221112221112()()1()()1nniiiinniiiiXXXXSnnXXXXXXXXnn111211112211111112211111221111()2()01niiniiiniiXXXXXXXXXXXXXXnXXnSnXX又222221222222221122222211122222221111122222()12222niiXXXXnSnXXnXXnXXnXXXXnXXXXnXnXXnXnXnXXnX同理而1122122111122112212112222111222212121222nXnXXnnnXnXnXnXnXnXnXnXnXnnnXnnnnnn又化简得21212122221212112221212121111nnXXnnnnXXnSnSSnnnnnn6设随机变量X,Y,Z相互独立，都服从标准正态分布N.(0,1),求随机变量函数222UXYZ的分布函数与概率密度；并验证§5.4定理1当k=3时成立，即U～23解：X,Y,Z相互独立且都服从N(0,1),则U～23显然3122321,0322,0uUUeufuPou不然，直接求U的分布函数22222222222222232,,0,010,2xyzuxyzuxyzxyzuPUuPXYZufxyzdxdydzfxfyfzdxdydzuPUuuPUuedxdydz当当利用三重积分的性质（略）也可得到结论。7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：随机变量2YX服从自由度为（1，k）的F分布。证明：X～tk,则可将X记为,UXUVk其中～N(0,1),V～2k则2221,UUVVkk其中2U～21，V～2k由F分布的定义知Y=2～F(1,k).8.设随机变量X服从自由度为1,2kk的F分布，证明：随机变量1YX服从自由度为1,2kk的F分布；从而证明等式（5.33）：11,22,11FkkFkk证明：X～F1,2kk,则X可写成2112,,UkUkVk其中22,Vk211,VkYUXk其中21Uk，22Vk，由F分布定义知2,111,211,21111YFkkPXFkkPXFkk11,2111(1)PXFkk2,111,22,111,21,1PYPYFkkFkkFkkFkk又11,22,11FkkFkk即＝9.设总体X服从正态分布2,5N(1)从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X与总体均值之差的绝对值小于1的概率1;PX（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率1PX达到0.95？解：(1)0,1XNn111PXPX11555646464XP8882155520.945210.8904(2)111PXPXnXnPn210.95n0.97551.969.8965nnnn10.从正态总体N2,0.5中抽取容量为10的样本1210,,XXX，（1）已知0，求10214iiX的概率。（2）未知，求1021()2.85iiXX的概率。解：(1)101022221111440.50.5iiiiPXPX又210.51021iiX210（P133，定理3）210160.10P原式＝（2）101022221111()2.85()2.850.50.5iiiiPXXPXX又102211()0.5iiXX29（定理4P133）22911.41911.4PP原式＝10.250.7511.设总体250,6XN，总体246,4YN，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：（1）08PXY（2）228.28xySPS解：（1）0805046504685046PXYPXY22222205046504685046646464108108108XYP有136定理6知，2250460,164108XYN225046445.65.664108XYP原式＝4210.9095.6（2）228.28xySPS222222468.2864xySPS又由P139，22226101,814xySFS9,73.6819,73.6810.050.95FF原式12.设总体2,XN，抽取样本1,,nXX，样本均值为X，样本方差为2S。若再抽取一个样本1nX，证明：统计量111nXXntnnSX与1nX相互独立。证明：222111,,,,,nnnXNXNXXNonn111111nnXXnnnXXnnnnSnS＝111222211111nnnXXXXnnXXnnSnSnSnn221210,1,113341nnSXXNnPThnn分子111nXXntnnS13.设总体28,2XN，抽取样本12,10,,XXX，求下列概率：（1）12,10max,,10PXXX（2）12,10min,,5PXXX解：（1）12,10max,,10PXXX＝1－12,10max,,10PXXX121012101011010110,10,,10110101081081()221110.84130.8224PXXXPXPXPXXP（2）12,1012,10min,,51min,,5PXXXPXXX1210101101101015,5,,511585811()22111.511.50.4991PXXXPPXXP14.设总体X服从泊松分布P，抽取样本1,,nXX，求：（1）样本均值X的期望与方差；（2）样本均值X的概率分布。解：（1）X111221111,11nnniiiiiniiXXXnnnDXDXnnnn（2）由泊松分布的可加性有：12nnYXXXPPn个＝YXn，则(),0,1,2,!ynynPXPYyeyny15.设总体X服从指数分布e，抽取样本1,,nXX，求：（1）样本均值X的期望与方差；（2）样本方差2S的数学期望。解：（1）2111iiXXDXDXnn2212212211(2)()11()11)1niiniiniiSXXnXnXnXnXn22222222222222222112,11121111111iiiiDXXXXXDXXnnSnnnnn