概率论的发展简介和应用

中国计量学院毕业设计（论文）文献综述学生姓名：陈静莉学号：0700802116专业：数学与应用数学班级：07数学1班设计（论文）题目：Taylor公式的一些应用指导教师：罗先发二级学院：理学院2011年3月10日1在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，在很多领域有重要的应用，如在近似计算、求极限问题、解决中值问题、估计无穷小（大）量的阶、判定级数的敛散性、研究函数的泰勒展开等方面，通过查阅大量文献资料，以下将通过泰勒公式的内容以及各方面的应用定理来介绍泰勒公式。◇泰勒公式泰勒公式的定义定义11：对于一般函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式:'''()20000000()()()()()...1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn称为函数f在点0x处的泰勒(Taylor)多项式，()nTx的各项系数:()0()(1,2,...,)!kfxknk称为泰勒级数；带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式定理11：若函数f在0x存在直至n阶导数,则有0()()(())nnfxTxoxx，即'''200000()()()()()()1!2!fxfxfxfxxxxx()000()()(())!nnnfxxxoxxn（1）称(1)式为函数f在点0x处的泰勒公式，()()()nnRxfxTx称为泰勒公式的余项，形如))((0nxxo的余项为佩亚诺（Peano）型余项,所以（1）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。2注1、若()fx在点0x附近满足0()()(())nnfxpxoxx（2）其中2010200()...nnnpxaaxxaxxaxx，这时并不意味着()npx必定就是f的泰勒多项式()nTx；注2、满足（2）式要求（即带有佩亚诺型误差）的n次逼近多项式()npx是唯一的；注3、当0x=0时的特殊形式：''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!nnnfffxffxxxoxn它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式。带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式定理12（泰勒定理）若函数f在,ab上存在直至n阶的连续导函数，在,ab内存在1n阶导函数，则对任意给定的0,,xxab，至少存在一点,ab，使得：''()(1)'2100000000()()()()()()()()...()()2!!(1)!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxnn（3）式同样称为泰勒公式，它的余项为：(1)10()()()()()(1)!nnnnfRxfxTxxxn，00()xxx(01)，称为拉格朗日（Lagrange）型余项，所以（3）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。3注1、0n时，（3）式即为拉格朗日中值公式'00()()()()fxfxfxx，所以，泰勒公式也可以看做拉格朗日中值定理的推广；注2、当00x时，得到泰勒公式：''()(1)'21(0)(0)()()(0)(0)...2!!(1)!nnnnfffxfxffxxxxnn(01)称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。泰勒公式的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当0xx时，逼近误差是较0()nxx高阶的无穷小量，而泰勒公式的拉格朗日型余项是一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。常见函数的泰勒展开式（文献1）：21()2!!nxnxxexoxn.)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx.24622cos1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxxoxn.)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx.◇泰勒公式的应用若把0x看成定点，x看成动点,则（1）、（3）式通过定点0x处的函数值0()fx及导数值'()00(),...,()nfxfx表达动点x处的函数值()fx；当问题涉及到2阶以上2(1)(1)(1)(1)1()2!!mnnmmmmmnxmxxxoxn4的导数时，通常可考虑用泰勒（Taylor）公式求解，这里关键在于选取函数f，点0x，展开的阶次n，以及余项形式，根据需要，0x一般应选在选在有特点的地方，例如使某10()0fx的地方等（文献[2]）；泰勒公式在近似计算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(xf麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn,其误差是余项()nRx；泰勒公式在求极限的应用为了简化极限运算，有时可用泰勒展开式来代替其中的一项，使得原来的函数的极限问题转化为多项式有理分式的极限问题。并且还可以解决一些用洛必达法则较难解决的题（文献[11]）。求未定式的极限利用罗必达法则是很有效的，但是对某些未定式的极限并不方便，甚至不能求出，此时可利用带余项的泰勒展开式再配合中值定理加以解决，利用罗必达法则求未定式的极限时，其结果是化成某阶导数的比，而泰勒公式的各项系数正分别含着各阶导数的值，罗必达法则所肯定的结论可以在特殊条件下，用泰勒展开式推导出来。所以可利用已知函数的泰勒公式求未定式的极限（文献[8]）泰勒公式在解决中值问题上的应用二元函数的中值定理和泰勒公式与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于n元函数（2n）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些；定理13（中值定理）：设二元函数f在凸开域2DR上连续，在D的所有内点都可微，则对D内任意两点(,),(,)PabQahbkD，存在其(01)，使得(,)(,)(,)(,)xyfahbkfabfahbkhfahbkk（4）注、公式（4）也称为二元函数（在凸域上）的中值公式；定理14（泰勒公式）：若函数f在点000(,)Pxy的某邻域0()UP内有直到51n阶的连续偏导数，则对0()UP在任一点00(,)xhyk，存在相应的(0,1)，使得200000000100001(,)(,)()(,)()(,)2!11()(,)()(,)!(1)!nnfxhykfxyhkfxyhkfxyxyxyhkfxyhkfxhyknxynxy(5)(5)式称为二元函数f在点0P的n阶泰勒公式，其中00000()(,)(,)mmmiimimimiihkfxyCfxyhkxyxy；注、易见公式（4）正是泰勒公式（5）在0n时的特殊情形；泰勒公式在估计无穷小（大）量的阶上的应用如何估计无穷(小)大量的阶,对于简单函数可用估猜法,但对于复杂的函数就无能为力了,但用带佩亚诺（Peano）型余项的Taylor公式就可迎刃而解（文献[13]）；泰勒公式在判断级数敛散性的应用利用泰勒公式把一些级数的通项nu近似表示成幂函数1n和(1)nn的线性组合，误差为高阶无穷小，根据级数11nn和1(1)nnn的收敛情况比较容易地判别级数1nnu的敛散性（文献[6]）；在级数敛散性的判断方面,除了直接使用Taylor公式外,有时还使用Taylor公式的中值形式，且在解决一些复杂问题时可能连续多次使用Taylor公式（文献[7]）；泰勒公式在研究函数的泰勒展开上的应用函数的Taylor展式在数学领域中起着非常重要的作用，例如计算数学中的数值逼近和数值计算时，进行误差分析，为获得截断误差时，它是一种十分常见而强有力的工具（文献[4]）．6定义12:如果函数f在0xx处存在任意阶的导数，这时称形式为'''()20000000()()()()......1!2!!nnfxfxfxfxxxxxxxn的级数为函数f在0x的泰勒级数；定理15：设f在点0x具有任意阶的导数，那么f在区间00(,)xrxr内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件：对一切满足不等式0xxr的x，有lim()0nnRx，这里()nRx是f在0x的泰勒公式余项；定义13：如果f能在0x的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在0x的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式''()'20000000()()()()()()()...()...2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn（6）的右边为f在0xx处的泰勒展开式，或称幂级数展开式；注1、由级数的逐项求导性质可推得：若f为幂级数注2、在实际应用上，主要讨论函数在处的展开式，这时（6）式可以写作'''2(0)(0)(0)(0)...1!2!!nnffffxxxn，称为麦克劳林级数；泰勒公式的其他方面应用除以上应用外，泰勒公式在判断函数凹凸点及拐点、证明不等式、求高阶导数在某些点的数值、证明根的唯一存在性、求行列式的值等方面也有着重要的应用；参考文献：[1]华东师范大学数学系编.数学分析（上，下册）[M].上海:高等教育出版社，1996.[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006：7437-440.[3]谢惠民等.数学分析习题课讲义（上、下册）[M].北京:高等教育出版社，2003.[4]聂存云,谭敏.关于一阶Taylor展开余项表达形式的一点探讨[J].湖南工程学院学报(自然科学版),2008,18(3):51-52.[5]韩宝燕.泰勒公式及其应用[J].数学学习与研究,2010,1(5):105-105.[6]王友国.Taylor公式在级数判敛中的应用[J].数学理论与应用,2008,28(4):96-98.[7]党振才,李晋忠.Taylor公式在判断级数敛散性时的应用[J].高等数学研究,2009,12(3):63-64.[8]谢黎东.利用中值定理和泰勒公式求函数极限[J].和田师范专科学校学报,2007,27(2):198-199.[9]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究,2010,13(3):11-12.[10]刘新波等.数学分析选讲[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009：138-139.[11]陈丽,王海霞.Taylor公式的应用[J].廊坊师范学院报,2009,9(2):20-23.[12]陈明.泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用[J].数学理论与应用，2004，24(4):67-69.[13]方继光,项明寅.谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用[J].安庆师范学院学报,2003，9(2):99-102.[14]陈文生.Taylor公式余项的几种形式及应用[J].宁德师专学报(自然科学版),2010,22(3):230-232.[15]严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J].重庆交通大学学报(自然科学版),2007,26(4):160-161.[16]LIHong-xu.UnilateralgeneralizedHessiansandgeneralizedTaylor’sexpansions[J].JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition),2007,44(1):11-16.[17]LIQing-hong,WUXin-yuan.OnVectorFormsofElementalFunctionswithTaylorSerie