概率论第一张习题及答案

1．设A，B是任意两个随机事件，则P[(+B)(A+B)(+)(A+)]=.2．设P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，若事件A与B互斥，则P(B)=;若事件A与B独立，则P(B)=.3．已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8，则P(A∪B)=.4．设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么积事件A的概率P(A)=.5．设A，B为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P()=.6．已知A，B两个事件满足条件P(AB)=P()，且P(A)=p,则P(B)=.7．设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为.8．设两个相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=.9．设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=.10．设随机事件A与B互不相容，已知P(A)=P(B)=a(0A1),P(A|)=P(|)则a=,P(A+B)=.11．设A，B是两个随机事件，已知P(A|B)=0.3，P(B|A)=0.4，P(|)=0.7，则P(A+B)=.12．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为.13．已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/8，则事件A，B，C全不发生的概率为.14．设A,B是两个随机事件，0〈P(B)〈1，且AB=，则P(A|)+P(|B)=.15．设A,B是两个随机事件，P(A)+(B)=0.9,P(AB)=0.2,则P(B)+P(A)=.16．设A,B是两个随机事件，P(A)=0.4,P(AB)=0.2,P(A|B)+P(|)=1,则P(A+B)=.17．一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不在放回，则第二次抽出的是次品的概率是.18．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机的从袋中取一球取后不放回，则第二人取得黄球的概率是.19．若在区间(0，1)内任取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为.20．将C，C，E，E，I，N，S等7个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为.21．设工厂A和工厂B的产品的次品率为1%和2%，现丛由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A产品的概率是.22．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为.23．甲，乙两人独立地对同一目标射击依次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是.24．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%。10%，从中不放回地随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为.25．袋内有5张卡片，每张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从中不放回地随机抽取3张卡片，则取到的两张卡片中最大的数与最小的数之差等于3的概率是.26．在n阶行列式的展开式中任意取出一项，此项不含第一行，第一列元素a11的概率为8/9，则此行列式的阶数n=.27．从数集{1，2，3，4，5}中任意取出一数（取后放回），用表示第i次取出的数(i=1,2,3),记b=，如果三阶矩阵，则线性方程组AX=b有解的概率为.28．掷3颗均匀骰子，已知所得的3个电数成等差数列，则其中还有2点的概率为.29．已知随机事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则事件A，B，C都不发生的概率为.30．有k个袋子，每个袋内均装有n张卡片，分别编有号码1，2，...，n.现在从每个袋内各取一张卡片，则取到卡片上的最大编号不超过m+2且不小于m的概率p是.31．甲，乙两名射手对同一目标进行射击，甲射手的命中率为p1,乙射手的命中率为p2(0p1,p21),规定甲先开始，每人一次轮流进行，直至目标被击中为止，要使甲先命中的概率比乙大，则p1与p2应满足的关系式是.32．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出1个球，此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.33．通信渠道传递15个信号，假设每个信号在传递过程中失真的概率为p，若A，B，C,分别表示事件A：无一消耗失真；B：恰有一信号失真；C：两个以上信号失真，则P(A)=;P(B)=;P(C)=.34．设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的概率为.35．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球、1个白球，第二个箱子中有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率为.已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为.36．随机地向半圆0Y(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为.第一章随机事件和概率选择、填空题答案（一）填空题1.答案是0.分析：（BA）BBBBABAAABA)(，（BA）BBBABBAAABA)(.于是0)()(PBBp.2.答案是0.3，0.5分析：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得P（B）=5.04.014.07.0)(1)()(APAPBAp.3.答案是：0.7.分析：由题设4.0)|()()(ABPAPABP.于是7.04.06.05.0)()()()(ABPBPAPBAp.4.答案是：0.3.分析：因为)()()()(ABPBPAPBAP又)()()(APABPBAp因此3.03.06.0)()()(BPBAPBAP。5．答案是：0.6分析由题设P(A)=0.7,P(AB)=0.3,利用公式AB+AB=A，知P（AB）=P（A）-P（AB）=0.7-0.3=0.4故P（AB）=1-P（AB）=1-0.4=0.66.答案是：1-p分析由于P（AB）=P（BA）=1-P（AUB）=1-[P（A）+P（B）-P（AB）]=1-p-P（B）+P（AB）由题设P（AB）=P（AB），故P（B）=1-p7.答案是：1/3分析设事件A在一次试验中出现的概率为p（0〈P〈1),则有1-（1-p）3=19/27，从而解的p=1/3。8．答案是：1/4分析因为P（AUBUC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AC）-P（AB）-P（BC）+P（ABC）由题设P（A）=P（B）=P（C），P（AC）=P（A）P（C）=P2（A），P（AB）=P（A）P（B）=P2（A），P（BC）=P（B）P（C）=P2（A），P（ABC）=0因此有9/16=3P（A）-3P2（A）解得P（A）=3/4或批（A）=1/4，又题设P（A）〈1/2〉，故，P（A）=1/4。9．答案是：2/3分析由题设，可知A与B也相互独立，有P（AB）=P（A）P（B）=1/9，又因为P（AB）=P（BA），故，P（A）=P（B），P（A）=P（B）=1/3，所以P（A）=1-P（A）=2/3。10.答案是：1/3，2/3分析首先根据已知条件建立以a为未知量的方程，但是题中所给的三个已知条件中，A与B互不相容与P（A）=P（B）动很简单，没有什么文章好作，因此我们应该从第三个条件P（A|B）=P（A|B）=0.5P（A|B）=)()(BPBAP=)(1)(BPAP=aa1=0.5解出a=1/3，P（A+B）=2/3，等式中第二步是因为A与B互不相容，于是B⊃A。即AB=A。注意（1）题中P（AB）的另一种求法是P（A）=P（AB）+P（AB）=P（AB）=a（题设A与B互不相容，P（AB）=P（Ø）=0。（2）本题既要用到事件概率性质，又要用到条件概率性质，是对事件与概率这两个基本概念的一个综合考察题，。凡涉及事件概率的计算问题。熟悉事件间关系与运算法则以及概率、条件概率、事件独立性等概念和性质很重要，只有熟练的掌握这些概念与性质才能对各种变化的条件，灵活运用有关结论进行计算或论证，否则只能简单的直接套用典型公式，这样对较灵活的题就会无能为力。11.答案是：0.58分析从条件给绿的性质可知P(A|B)+P()=1⇒P(A|B)=1-P(A|B)=0.3因此P（A|B）=P(A|B).即A与B相互独立。P（A）=P（A|B）=0.3，P（B）=P（B|A）=0.4.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.58.注意此题不是一个直接的概率计算问题。它首先要根据各已知条件概率数值关系，确定事件A与B是独立事件，能否判断出事件A与B的独立性是解决这个题目的关键。12．答案是：2/3。分析设命中率为p(0p1),则至少命中一次概率为1-（1-p）4，由1-（1-p）4=80/81，解得p=2/3。13.答案是：1/2。分析由ABC⊂AB，P（AB）=0得P（ABC）=0，所求事件概率为P（A*B*C）=)(CBA=1-P（AUBUC）=1-{P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）}=1/214．答案是：2分析从条件AB=AB可知（AB）（AB）=AABB=Ø，（AB）（AB）=AB=AB，于是有=BA=Ø，A+B=Ω，但已知AB=Ø，因此A与B为对立事件，即A=B，A=B，即P（A|B）=P（A|B）=1。条件AB=AB出发，设法分析出A与B间的关系来解决两个条件概率的计算问题，本题关键是要从两个互不相容事件AB与的相等分析出它们都是不可能事件，即AB=AB=Ø，进而得出A与B为对立事件。15．答案是；0.5分析由于P（AB）+P（AB）=P（B），P（AB）+P（AB）=P（A），可得P（AB）+P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.5。或应用公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），P（A+B）=P（AB）+P（AB）+P（AB），可得P（AB）+P（AB）=P（A+B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.5。注意解这个题的思路是设法分析出AB及AB与AB的关系，最容易想到的应该是P（AB）+P（AB）=P（B）等。16.答案是：0.7。分析由于P（A）=P（AB）+P（AB）=0.4，P（AB）=0.2，因此P（AB）=0.2，可见，P（B）与P（B）均大于零，对于B，有P（A|B）+P（A|B）=1。①于是P（A|B）=P（A|B）因此A与B相互独立。P（B）=)()(APABP=0.5，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.7。注意能够考虑到条件概率的性质P（A|B）+P（A|B）=1（P（B）0），从而结合题设条件P（A|B）+P（A|B）=1，导出等式P（A|B）=P（A|B）。②这是题解的首要一步，能从式②导出P（AB）=P（A）P（B），即A与B独立需要用到条件概率的概念，无论是式①，还是式②的成立应首先考虑它们对于事件A，B关系的影响，即式①或式②的成立都可证明A与B是相互独立的。17.答案是：1/6。分析本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概