概率论第一章习题参考解答

概论论与数理统计习题参考解答习题一8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率.解:设事件A={出现3个正面}基本事件总数n=23,有利于A的基本事件数nA=1,即A为一基本事件,则125.08121)(3nnAPA.9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率.解:设事件A={能打开门},则A为不能打开门基本事件总数210Cn,有利于A的基本事件数27CnA,467.0157910212167)(21027CCAP因此,533.0467.01)(1)(APAP.10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A={能打开门},基本事件总数2412344Pn,有利于A的基本事件数为2An,因此,0833.0121)(nnAPA.11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解:设Ai为取到i个次品,i=0,1,2,3,基本事件总数5100Cn,有利于Ai的基本事件数为3,2,1,0,5973iCCniii则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700CCnnAPCCCnnAPCCnnAPCCnnAP12.N个产品中有N1个次品,从中任取n个(1≤n≤N1≤N),求其中有k(k≤n)个次品的概率.解:设Ak为有k个次品的概率,k=0,1,2,…,n,基本事件总数nNCm,有利于事件Ak的基本事件数knNNkNkCCm11,k=0,1,2,…,n,因此,nkCCCmmAPnNknNNkNkk,,1,0,)(1113.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310Cn,有利于A的基本事件数为121315CCCnA,则25.0412358910321)(310121315CCCCnnAPA14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A为前两个邮筒没有信的事件,B为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644n,有利于A的基本事件数422An,有利于B的基本事件数632Bn,则25.041164)(nnAPA375.083166)(nnBPB.15.一批产品中,一,二,三等品率分别为0.8,0.16,0.04,若规定一,二等品为合格品,求产品的合格率.解:设事件A1为一等品,A2为二等品,B为合格品,则P(A1)=0.8,P(A2)=0.16,B=A1+A2,且A1与A2互不相容,根据加法法则有P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.9616.袋内装有两个5分,三个2分,五个一分的硬币,任意取出5个,求总数超过一角的概率.解:假设B为总数超过一角,A1为5个中有两个5分,A2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A3为5个中有一个5分两个2分两个1分,则B=A1+A2+A3,而A1,A2,A3互不相容,基本事件总数252762354321678910510Cn设有利于A1,A2,A3的基本事件数为n1,n2,n3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221BPCCCnCCCnCCn17.求习题11中次品数不超过一个的概率.解:设Ai为取到i个次品,i=0,1,2,3,B为次品数不超过一个,则B=A0+A1,A0与A1互不相容,则根据11题的计算结果有P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.99419.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(用B表示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P(A|B),P(B|A),P(A+B).解:根据题意有P(A)=4/15,P(B)=7/15,P(AB)=1/10,则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(ABPBPAPBAPAPPABABPBPABPBAP20.为防止意外,在矿内同时设有两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A为0.92,系统B为0.93,在A失灵的条件下,B有效的概率为0.85,求(1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率(2)B失灵的条件下,A有效的概率解:设A为系统A有效,B为系统B有效,则根据题意有P(A)=0.92,P(B)=0.93,85.0)|(ABP(1)两个系统至少一个有效的事件为A+B,其对立事件为两个系统都失效,即BABA,而15.085.01)|(1)|(ABPABP,则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(BAPBAPABPAPBAP(2)B失灵条件下A有效的概率为)|(BAP,则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(BPBAPBAPBAP21.10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取,每人一次,甲先,乙次,丙最后,证明3人抽到难签的概率相等.证:设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签,显然P(A)=4/10,而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(ABPAPBAPABPAPBAPABPAPBAPABPAPABP由于A与A互不相容,且构成完备事件组,因此BAABB可分解为两个互不相容事件的并,则有1049036902412)()()(BAPABPBP又因BABABAAB,,,之间两两互不相容且构成完备事件组,因此有CBACBABCAABCC分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(BACPBAPCBAPBACPBAPCBAPBACPBAPBCAPABCPABPABCP则104720288720120727224()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP因此有P(A)=P(B)=P(C),证毕.22.用3个机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2,各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95,求全部产品中的合格率.解:设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工,B为产品合格,A1,A2,A3构成完备事件组.则根据题意有P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31iiiABPAPBP23.12个乒乓球中有9个新的3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解:设A0,A1,A2,A3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球,A0,A1,A2,A3构成完备事件组.设B为第二次取到的3个球中有2个新球.则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330CCCABPCCAPCCCABPCCCAPCCCABPCCCAPCCCABPCCAP根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30iiiABPAPBP24.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率是0.05,求:(1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.解:(1)设B为任取一箱,从中任取一个为废品的事件.设A为取到甲厂的箱,则A与A构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(ABPAPABPAPBPABPABPAPAP(2)设B为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个,其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个,其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(BP25.一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率是0.3,加工零件B时,停机的概率是0.4,求这个机床停机的概率.解:设C为加工零件A的事件,则C为加工零件B的事件,C与C构成完备事件组.设D为停机事件,则根据题意有P(C)=1/3,P(C)=2/3,P(D|C)=0.3,P(D|C)=0.4,根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(CDPCPCDPCPDP26.甲,乙两部机器制造大量的同一种机器零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件废品率为1%,乙机器制造出的废品率为2%,现有同一机器制造的一批零件,估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍,今从该批零件中任意取出一件,经检查恰好是废品,试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解:设A为零件由甲机器制造,则A为零件由乙机器制造,A与A构成完备事件组.由P(A+A)=P(A)+P(A)=1并由题意知P(A)=2P(A),得P(A)=1/3,P(A)=2/3.设B为零件为废品,则由题意知P(B|A)=0.01,P(B|A)=0.02,则根据贝叶斯公式,任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(ABPAPABP